Bài tập cấp cho số cộng – cung cấp số nhân

1. Cầm tắt lý thuyết cấp số cùng và cấp số nhân

*

1.1. Cấp số cộng

Định nghĩa.

Bạn đang xem: Bài tập cấp số cộng cấp số nhân

dãy số $ (u_n) $ được xác định bởi $egincases u_1=u\u_n=u_n-1+d endcases$ được gọi là cấp cho số cùng với số hạng đầu bằng $ u $ và công sai $ d. $Tính chất 3 số hạng tiếp tục của cấp số cộng $$ u_k=fracu_k-1+u_k+12 $$Công thức số hạng tổng quát của cung cấp số cộng $$ u_n=u_1+(n-1)d $$Tổng $ n $ số hạng thứ nhất của cấp số cộng $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=fracn(u_1+u_n)2 $$

1.2. Cấp số nhân

Định nghĩa. hàng số $ (u_n) $ được khẳng định bởi $egincases u_1=u\u_n=u_n-1cdot q endcases$ được gọi là cung cấp số nhân với số hạng đầu bằng $ u$ và công bội $ q. $Công thức số hạng tổng quát của cung cấp số nhân $$ u_n=u_1cdot q^n-1 $$Tính hóa học 3 số hạng thường xuyên của cấp cho số nhân $$ u_k^2=u_k-1.u_k+1 $$Tổng $ n $ số hạng thứ nhất của cung cấp số nhân $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=u_1frac1-q^n1-q ,,, (q e 1)$$

2. Bài bác tập cấp số cộng

Ví dụ 1. Cho cấp cho số cộng có $ u_1=10,d=-4. $ tìm $ u_10 $ với $ S_10 $.

Hướng dẫn. Sử dụng bí quyết số hạng tổng quát, ta có số hạng thứ $10$ của cung cấp số cùng là $$ u_10=u_1 + (10-1)d = 10+9(-4)=-26 $$ Tổng ( 10 ) số hạng thứ nhất của cấp số cùng đã chỉ ra rằng $$ S_10 = frac10left(u_1+u_10 ight)2=-80 $$

Ví dụ 2. Cho tía số dương $ a, b, c $ lập thành cung cấp số cộng. Chứng tỏ rằng:

$a^2+2bc=c^2+2ab$$a^2+8bc=(2b+c)^2$$(a^2+ab+b^2),(a^2+ac+c^2),(b^2+bc+c^2)$ lập thành cấp cho số cộng

Hướng dẫn. Ta có cha số dương $ a, b, c $ lập thành cấp cho số cộng khi và chỉ khi $ 2b=a+c $.

$a^2+2bc=c^2+2ab$ tương đương với $$ a^2+(a+c)c=c^2+(a+c)a $$ Khai triển nhì vế đẳng thức này được điều minh bạch đúng.$a^2+8bc=(2b+c)^2$ tương đương với $$ a^2+4c(a+c)=(a+c+c)^2 $$ Khai triển nhì vế đẳng thức này được điều hiển nhiên đúng.$(a^2+ab+b^2),(a^2+ac+c^2),(b^2+bc+c^2)$ lập thành cấp số cùng khi và chỉ khi$$ (a^2+ab+b^2) + (b^2+bc+c^2) = 2 (a^2+ac+c^2)$$ Khai triển với rút gọn ta được eginalign*&ab+bc+2b^2=a^2+2ac+c^2\Leftrightarrow và (a+c)b+2b^2=(a+c)^2endalign* cầm ( a+c=2b ) vào nhì vế đẳng thức trên ta được ( 4b^2=4b^2 ), đây là điều hiển nhiên đúng.

Ví dụ 3. kiếm tìm số hạng đầu với công sai của cung cấp số cộng $ (u_n) $ biết

$ egincases u_1-u_3+u_5=10\ u_1+u_6=17 endcases $$ egincases u_7-u_3=8\u_2.u_15=75 endcases $$ egincases u_1+u_4+u_5=25\u2-u_8=-24 endcases $

Ví dụ 4. khẳng định $ x $ để bố số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp cho số cộng.

Hướng dẫn. Ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp số cộng khi còn chỉ khi $$ 10-3x+7-4x=2(2x^2+3) $$ Giải phương trình này, kiếm được ( x=1, x=-frac114 ).

Ví dụ 5. Xác định một cung cấp số cộng tất cả 3 số hạng, biết tổng của chúng bởi 9 cùng tổng bình phương là 125.

Giải: điện thoại tư vấn $d$ là công không nên của cấp cho số cộng và tía số nên tìm là $(x – d),x, (x + d)$ thì ta tất cả hệ phương trình:

$$ egincasesx-d+x+x+d=9\ (x-d)^2+x^2+(x+d)^2=125endcases $$

Giải hệ trên, ta tìm kiếm được với $d = 7$ cấp số cộng sẽ là $-4, 3, 10$ và với $d = -7$ cấp cho số là $10;,3,-4$.

Ví dụ 6. Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, hiểu được số đo 4 góc lập thành một cung cấp số cùng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ tuổi nhất.

Hướng dẫn. Gọi $d=2a$ là công không đúng thì tứ số đề nghị tìm là $$x – 3a,x – a,x + a,x + 3a$$ Ta có hệ phương trình: $$ egincasesleft( x-3 exta ight)+left( x-a ight)+left( x+a ight)+left( x+3a ight)=360^circ\left( x+3a ight)=5left( x-3a ight)endcases $$ Giải hệ này, tìm được ( x=90^circ ) và ( a=20^circ ). Suy ra, bốn góc đề nghị tìm là:A = 300; B = 700 ; C = 1100 ; D = 1500.

Ví dụ 7. Tìm tổng những số hạng tiếp tục từ lắp thêm 6 cho thứ 14 của cấp cho số cộng bao gồm số hạng thứ cha là 16 cùng công sai bằng 4.

Ví dụ 8. Cho hàm số $ y=x^3-3x^2-9x+m $ gồm đồ thị là $ (C). $ tìm $m$ để đồ thị $(C)$ giảm trục hoành tại ba điểm phân biệt tất cả hoành độ lập thành một cung cấp số cộng?

Hướng dẫn. Giả sử ba hoành độ là $ x_1,x_2,x_3 $. Từ $ x_1+x_3=2x_2 $ và Viét suy ra $ x_2=1. $ tự đó kiếm được $ m $ cùng thử lại. Đáp số $ m=11. $

Ví dụ 9. kiếm tìm $m$ để đồ thị hàm số $ y=x^4-2(m-1)x^2+2m+1 $ cắt trục hoành tại tư điểm phân biệt lập thành một cấp cho số cộng.Đáp số. $ m=4 $ với $ m=-frac49. $

Ví dụ 10. Cho phương trình : $x^4+3x^2-left( 24+m ight)x-26-n=0$. Tìm hệ thức contact giữa $m$ với $n$ để phương trình gồm 3 nghiệm sáng tỏ $x_1,x_2,x_3$ lập thành một cung cấp số cộng?

Hướng dẫn. Vì 3 nghiệm phân minh : $x_1,x_2,x_3$ lập thành cấp số cùng , đề xuất ta có thể đặt: $$x_1=x_0-d,x_2=x_0,x_3=x_0+dleft( d e 0 ight)$$ Theo trả thiết ta có: $$x^3 + 3x^2 – left( 24 + m ight)x – 26 – n = left( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight)left( x – x_3 ight)$$

Nhân ra và nhất quán hệ số ở hai vế của phương trình ta tất cả hệ: $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarrayl– 3x_0 = 3\3x_0^2 – d^2 = – left( 24 + m ight)\– x_0^3 + x_0d^2 = – 26 – nendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx_0 = – 1\3 – d^2 = – 24 – m\1 – d^2 = – 26 – nendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx_0 = – 1\m = nendarray ight.endarray$$ Vậy cùng với $m=n$ thì bố nghiệm minh bạch của phương trình lập thành cấp số cộng.

Ví dụ 11. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $ sin^23x-5sin3x+4=0 $ trên khoảng $ (0;50pi) $.

Đáp số. $ frac3725pi2 $.

3. Bài xích tập cấp số nhân

Ví dụ 1. mang lại dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = frac52$ và $u_n + 1 = 3u_n – 1$ với đa số $n geqslant 1$. Chứng tỏ rằng hàng số $(v_n)$ xác định bởi $v_n = u_n = frac – 12$ với mọi $n geqslant 1$ là một trong cấp số nhân. Hãy cho biết số hạng đầu cùng công bội của cung cấp số nhân đó.

Hướng dẫn. Từ công thức xác minh dãy số $ (u_n) $ và $ (v_n) $ ta có$$v_n + 1 = u_n + 1 – frac12 = 3u_n – 1 – frac12 = 3left( u_n – frac12 ight) = 3v_n ext với mọi ngeqslant 1. $$ Ta thấy ngay, $ (v_n) $ là 1 cấp số nhân với số hạng đầu $ v_1=2 $ với công bội $ q=3. $

Ví dụ 2. Một cấp số nhân gồm 5 số hạng , công bội bằng 1 phần bốn số hạng trước tiên , tổng của nhị số hạng đầu bằng 24. Tìm cung cấp số nhân đó.

Hướng dẫn. Theo mang thiết ta tất cả $$eginarrayl,,,,,,u_1 + u_2 = u_1 + frac14left( u_1 ight) = 24\Rightarrow u_1 + frac14u_1^2 – 24 = 0\Leftrightarrow u_1 = – 12 vee u_1 = 8endarray$$ Vậy bao gồm hai cung cấp số nhân khớp ứng là $8,16,32,128$ hoặc $-12,36,-108,-972$.

Ví dụ 3. tìm kiếm số hạng đầu với công bội của cấp cho số nhân $ (u_n) $ biết

$ egincases u_4-u_2=72\u_5-u_3=144 endcases $$ egincases u_1-u_3+u_5=65\u_1+u_7=325 endcases $

Ví dụ 4. Tìm tư góc của một tứ giác, biết rằng những góc đó lập thành cấp số nhân cùng góc cuối gấp 9 lần góc sản phẩm công nghệ hai.

Ví dụ 5. Tìm những số dương $ a,b $ làm thế nào để cho $ a,a+2b,2a+b $ lập thành một cấp số cộng còn $ (b+1)^2,ab+5,(a+1)^2 $ lập thành một cấp số nhân.

Ví dụ 6. tìm kiếm $m$ để phương trình $ x^3+2x^2+(m+1)x+2(m+1)=0 $ có tía nghiệm lập thành một cấp số nhân.

Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương đương với $$ (x+2)(x^2+m+1)=0 Leftrightarrow left<eginarraylx=-2 \ x^2=-m-1endarray ight.$$Phương trình đã mang đến có ba nghiệm khi và chỉ còn khi $$ egincasesmTH1. ( -5TH2. ( m

Tóm lại, không có giá trị làm sao của ( m ) thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ 7.

Xem thêm: Bài Tập Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số, Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số

Tính tổng $$ S=1+frac13+frac13^2+cdots+frac13^2015 $$

Ví dụ 8. Tìm những số hạng đầu của cung cấp số nhân $(u_n)$ hiểu được $$ egincasesu_1+u_2+u_3+u_4=15\u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=85endcases $$Hướng dẫn. Giả sử cấp cho số nhân bắt buộc tìm có số hạng đầu bởi ( x ) và công bội ( q e 1). Sử dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu của một cấp cho số nhân, chúng ta có$$ u_1+u_2+u_3+u_4=fracxleft(q^4-1 ight)q-1=15 $$ Bình phương nhì vế ta được $$ x^2(q^4-1)^2/(q-1)^2 = 225 $$ Đối với tổng $ u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2$ ta có thể coi đây đó là tổng tứ số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu là ( x^2 ) cùng công bội ( q^2 ) yêu cầu tổng của bọn chúng là $$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=fracx^2left(q^8-1 ight)q^2-1=85 $$

Chia từng vế hai phương trình bên trên ta được $$ fracleft(q^4-1 ight)left(q^2-1 ight)left(q-1 ight)^2left(q^8-1 ight) =frac22585$$Rút gọn rồi nhân chéo cánh ta được phương trình $$ 14q^4 – 17q^3 – 17q^2 – 17q + 14 = 0 $$ Đến đây rất có thể sử dụng máy tính để giải, kiếm được nghiệm ( q=2,q=frac12 ). Hoặc đặt ( t=q+frac1q ) và đem lại phương trình bậc nhị ẩn ( t ).

Lời giải chi tiết cho ví dụ này, mời thầy cô và những em học sinh xem trong clip sau: