Các dạng toán phương trình lượng giác, cách thức giải và bài bác tập tự cơ phiên bản đến nâng cao - toán lớp 11

Sau khi làm cho quen với những hàm lượng giác thì những dạng bài xích tập về phương trình lượng giác chính là nội dung tiếp theo mà những em đang học trong chương trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản lop 11


Vậy phương trình lượng giác có những dạng toán nào, phương thức giải ra sao? bọn họ cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết này, đồng thời áp dụng các cách thức giải này để triển khai các bài xích tập từ bỏ cơ bạn dạng đến nâng cấp về phương trình lượng giác.

I. định hướng về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 trong những cung thỏa sinα = a, lúc đó phương trình (1) có những nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện 

*
 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Lúc đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa cosα = a, lúc đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π cùng cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó những nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện

*

- Nếu α vừa lòng điều kiện

*

II. Những dạng toán về Phương trình lượng giác và cách thức giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức nghiệm tương xứng với từng phương trình.

* ví dụ như 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* lời giải bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* lấy ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một số phương trình lượng giác chuyển được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bạn dạng như Dạng 1.

* ví dụ như 1: Giải những phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ cùng với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* lưu ý: Bài toán trên áp dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* giữ ý: bài xích toán áp dụng công thức thay đổi tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* giữ ý: Bài toán bên trên có vận dụng công thức biến hóa tổng thành tích và bí quyết nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình số 1 có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai bao gồm một hàm con số giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta tất cả phương trình at2 + bt + c = 0.

* giữ ý: Khi để t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

* ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ cùng với t = 1: sinx = 1 

*

+ cùng với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 buộc phải loại

*
*
 
*

* Chú ý: Đối cùng với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Cách thức giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 chưa phải là nghiệm của phương trình vì a≠0,

 Chia 2 vế mang lại cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

 - nếu như phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta nắm d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn mang về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ cách 1: Chia nhì vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ giải pháp 2: Sử dụng phương pháp sinx và cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* lưu giữ ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) bao gồm nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng thể của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 khi đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* giữ ý: bài xích toán vận dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx với cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Bài Tập Về Các Phép Toán Tập Hợp Chọn Lọc Có Lời Giải, Các Dạng Toán Về Tập Hợp Và Bài Tập Vận Dụng

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, lúc đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- lưu giữ ý: 

*
 nên điều kiện của t là: 

- vì vậy sau khi kiếm được nghiệm của PT (*) đề xuất kiểm tra (đối chiếu) lại đk của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 chưa hẳn là PT dạng đối xứng tuy thế cũng có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ cùng với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. Bài xích tập về những dạng toán Phương trình lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Với hầu hết giá trị làm sao của x thì giá chỉ trị của những hàm số y = sin 3x cùng y = sin x bằng nhau?

° lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* bài bác 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT bao gồm nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT tất cả nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình 

° giải thuật bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến phía trên ta cần so sánh với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT có họ nghiệm là 

*

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° giải thuật bài 1 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT tất cả tập nghiệm 

*

* bài xích 2 (trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° giải thuật bài 2 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi ấy PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0