Dạng toán 1. Search GTLN – GTNN của hàm số lượng giác sử dụng điều kiện $ – 1 le sin x le 1$, $ – 1 le cos x le 1.$


Toán Lượng Giác bài viết hướng dẫn phương thức giải vấn đề tìm giá chỉ trị mập nhất, giá bán trị nhỏ tuổi nhất của hàm số lượng giác.

Bạn đang xem: Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác


Dạng toán 1. Search GTLN – GTNN của hàm con số giác sử dụng điều kiện $ – 1 le sin x le 1$, $ – 1 le cos x le 1.$


bài toán 1: Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức $A = sin x + sin left( x + frac2pi 3 ight).$

A. $-1.$B. $0.$C. $-2.$D. $fracsqrt 3 2.$
A

Ta có

Chọn A.Ta có

$A = sin x + sin left( x + frac2pi 3 ight)$ $ = 2sin left( x + fracpi 3 ight)cos fracpi 3$ $ = sin left( x + fracpi 3 ight).$

$ – 1 le sin left( x + fracpi 3 ight) le 1$ $ Leftrightarrow – 1 le A le 1$, $forall x in R.$

Vậy $mathop min limits_x in R A = – 1$ khi $sin left( x + fracpi 3 ight) = – 1$ $ Leftrightarrow x = – frac5pi 6 + k2pi $, $k in Z.$


bài toán 2: Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức $A = sin ^4x + cos ^4x.$

A. $1.$B. $0.$C. $2.$D. $frac12.$
A

Ta có

Chọn A.Ta gồm

$A = sin ^4x + cos ^4x$ $ = 1 – frac12sin ^22x.$

$0 le sin ^22x le 1$ $ Leftrightarrow frac12 le 1 – frac12sin ^22x le 1$, $forall x in R.$

Vậy $mathop max limits_x in R A = 1$ lúc $sin ^2x = 1$ $ Leftrightarrow cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi $, $k in Z.$


việc 3: Tập quý giá của hàm số $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ là đoạn $.$ Tính tổng $T = a + b.$

A. $T = 1.$B. $T = 2.$C. $T = 0.$D. $T = -1.$
B

Ta có

Chọn B.Cách 1: $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + sqrt 3 cos 2x = y – 1.$Để phương trình trên gồm nghiệm thì $1^2 + (sqrt 3 )^2 ge (y – 1)^2$ $ Leftrightarrow y^2 – 2y – 3 le 0$ $ Leftrightarrow – 1 le y le 3.$Suy ra $y in < – 1;3>.$ Vậy $T = – 1 + 3 = 2.$Cách 2: $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ $ = 2sin left( 2x + fracpi 3 ight) + 1.$Do $sin left( 2x + fracpi 3 ight) in < – 1;1>$ bắt buộc $2sin left( 2x + fracpi 3 ight) + 1 in < – 1;3>.$Vậy $ – 1 le y le 3.$Ta thấy $y = – 1$ khi $sin left( 2x + fracpi 3 ight) = – 1$, $y = 3$ lúc $sin left( 2x + fracpi 3 ight) = 1.$


vấn đề 4: Hằng ngày, mực nước của bé kênh tăng giảm theo thủy triều. Độ sâu $h$(m) của mực nước trong kênh tính theo thời hạn $t$(h) được đến bởi cách làm $h = 3cos left( fracpi t6 + fracpi 3 ight) + 12.$ bao giờ mực nước của kênh là cao nhất với thời hạn ngắn nhất?

A. $t = 22$(h).B. $t = 15$(h).C. $t = 14$(h).D. $t = 10$(h).
D

Ta có

Chọn D.Ta có: $ – 1 le cos left( fracpi 6t + fracpi 3 ight) le 1$ $ Leftrightarrow 9 le h le 15.$ cho nên mực nước tối đa của kênh là $15$m giành được khi $cos left( fracpi 6t + fracpi 3 ight) = 1$ $ Leftrightarrow fracpi 6t + fracpi 3 = k2pi $ $ Leftrightarrow t = – 2 + 12k.$Vì $t > 0$ $ Leftrightarrow – 2 + 12k > 0$ $ Leftrightarrow k > frac16.$ chọn số $k$ nguyên dương nhỏ dại nhất thoả $k > frac16$ là $k = 1$ $ Rightarrow t = 10.$


bài toán 5: Gọi $M$ với $N$ lần lượt là giá chỉ trị lớn số 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = – 1 + 2cos x<(2 – sqrt 3 )sin x + cos x>$ trên $R.$ Biểu thức $M + N + 2$ có giá trị bằng?

A. $0.$B. $4sqrt 2 – sqrt 3 .$C. $2.$D. $sqrt 2 + sqrt 3 + 2.$
C

Ta có

Chọn C.Ta gồm $y = – 1 + 2cos x<(2 – sqrt 3 )sin x + cos x>$ $ = – 1 + 2(2 – sqrt 3 )sin xcos x + 2cos ^2x.$$ = (2 – sqrt 3 )sin 2x + left( 2cos ^2x – 1 ight)$ $ = (2 – sqrt 3 )sin 2x + cos 2x.$$ = (sqrt 6 – sqrt 2 )left< fracsqrt 6 – sqrt 2 4sin 2x + frac1sqrt 6 – sqrt 2 cos 2x ight>$ $ = (sqrt 6 – sqrt 2 )sin (2x + alpha )$ với $fracsqrt 6 – sqrt 2 4 = cos alpha $, $frac1sqrt 6 – sqrt 2 = sin alpha .$Suy ra $ – sqrt 6 + sqrt 2 le y le sqrt 6 – sqrt 2 .$Do đó $mathop max limits_R y = sqrt 6 – sqrt 2 = M$, $mathop min limits_R y = – sqrt 6 + sqrt 2 = N.$Vậy $M + N + 2 = 2.$


việc 6: số giờ có ánh sáng của một tp X nghỉ ngơi vĩ độ $40^0$ bắc trong thời gian ngày thứ $t$ của 1 năm không nhuận được cho vày hàm số: $d(t) = 3sin left< fracpi 182(t – 80) ight> + 12$, $t in Z$ cùng $0 A. $262.$B. $353.$C. $80.$D. $171.$

vấn đề 7: Hàm số $y = 2cos 3x + 3sin 3x – 2$ có toàn bộ bao nhiêu quý giá nguyên?

A. $7.$B. $3.$C. $5.$D. $6.$

bài toán 8: Tìm giá bán trị phệ nhất, giá bán trị nhỏ tuổi nhất của hàm số sau $y = 2sin ^2x + cos ^22x.$

A. $max y = 4$, $min y = frac34.$B. $max y = 3$, $min y = 2.$C. $max y = 4$, $min y = 2.$D. $max y = 3$, $min y = frac34.$

việc 9: gọi $M$ và $m$ theo lần lượt là GTLN với GTNN của hàm số $y = sin ^4x + cos ^4x + sin 2x.$ Tổng $M + m$ là?

A. $frac – 32.$B. $ – frac12.$C. $frac32.$D. $1.$

việc 10: cho hàm số $y = fracsin x – 2cos xsin x + cos x + 3.$ call $m$, $M$ theo lần lượt là giá bán trị bé dại nhất với giá trị lớn nhất của hàm số đang cho. Tính $7m – 5M$ bằng?

A. $10.$B. $1.$C. $0.$D. $-10.$
D

Ta có

Chọn D.Tập xác định: $D = R.$Ta có: $y = fracsin x – 2cos xsin x + cos x + 3$ $ Leftrightarrow (1 – y)sin x – (y + 2)cos x = 3y.$Phương trình trên gồm nghiệm $ Leftrightarrow (1 – y)^2 + (y + 2)^2 ge 9y^2.$$ Leftrightarrow 7y^2 – 2y – 5 le 0$ $ Leftrightarrow – frac57 le y le 1$ $ Rightarrow m = – frac57$, $M = 1.$Vậy $7m – 5M = – 5 – 5 = – 10.$


vấn đề 11: Hàm số $y = frac3sin 4x – 4left( sin ^4x + cos ^4x ight)2cos ^22x – sin 4x + 2$ có mức giá trị lớn số 1 $M$ và giá trị bé dại nhất $m.$ lúc ấy tổng $M + m$ bằng?

A. $0.$B. $ – frac57.$C. $ – frac107.$D. $frac37.$
C

Ta có

Chọn C.Tập xác định: $D = R.$Ta có: $3sin 4x – 4left( sin ^4x + cos ^4x ight)$ $ = 3sin 4x – 4left( 1 – 2sin ^2xcos ^2x ight)$ $ = 2sin ^22x + 3sin 4x – 4$ $ = 3sin 4x – cos 4x – 3.$Xét mẫu mã thực: $2cos ^22x – sin 4x + 2$ $ = cos 4x – sin 4x + 3.$Suy ra $y = frac3sin 4x – 4left( sin ^4x + cos ^4x ight)2cos ^22x – sin 4x + 2$ $ = frac3sin 4x – cos 4x – 3cos 4x – sin 4x + 3.$$ Leftrightarrow (3 + y)sin x – (y + 1)cos x = 3y + 3.$Phương trình trên có nghiệm $ Leftrightarrow (3 + y)^2 + (y + 1)^2 ge (3y + 3)^2.$$ Leftrightarrow 7y^2 + 10y – 1 le 0$ $ Leftrightarrow frac – 5 – 4sqrt 2 7 le y le frac – 5 + 4sqrt 2 7$ $ Rightarrow m + M = – frac107.$


vấn đề 12: giá trị lớn số 1 $M$, giá trị nhỏ dại nhất $m$ của hàm số $y = 2cos ^2x – 2sqrt 3 sin xcos x + 1$ là?

A. $M = 4$, $m = 0.$B. $M = 3$, $m = 0.$C. $M = 3$, $m = 1.$D. $M = 4$, $m = 1.$
A

Ta cóChọn A.Tập xác định: $D = R.$Ta có: $y = 2cos ^2x – 2sqrt 3 sin xcos x + 1$ $ = cos 2x – sqrt 3 sin 2x + 2$ $ = 2left( frac12cos 2x – fracsqrt 3 2sin 2x ight) + 2$ $ = 2cos left( 2x + fracpi 3 ight) + 2.$Mặt khác $0 le 2cos left( 2x + fracpi 3 ight) + 2 le 4$, $forall x in R$ $ Leftrightarrow 0 le y le 4$, $forall x in R.$Vậy:Giá trị lớn số 1 của hàm số là $M = 4$ khi $x = frac – pi 6 + kpi .$Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $m = 0$ khi $x = fracpi 3 + kpi .$


câu hỏi 13: mang lại hàm số $y = fracsin x + 2cos x + 1sin x + cos x + 2.$ call $M$, $m$ theo lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tổng $M + m$ bằng?

A. $1.$B. $-2.$C. $-1.$D. $2.$
C

Ta cóChọn C.Tập xác minh $D = R$ (do $sin x + cos x + 2 > 0$, $forall x in R$).Xét phương trình: $y = fracsin x + 2cos x + 1sin x + cos x + 2$ $ Leftrightarrow (1 – y)sin x + (2 – y)cos x + 1 – 2y = 0.$Phương trình trên tất cả nghiệm $ Leftrightarrow (1 – y)^2 + (2 – y)^2 ge (1 – 2y)^2$ $ Leftrightarrow y^2 + y – 2 le 0$ $ Leftrightarrow – 2 le y le 1.$Vậy $M = 1$, $m = – 2$ $ Rightarrow M + m = – 1.$


vấn đề 14: giá trị lớn số 1 của hàm số $y = fraccos x + 2sin x + 32cos x – sin x + 4$ là?

A. $3 – 2sqrt 3 .$B. $2.$C. $-1.$D. $0.$
B

Ta cóChọn B.Xét phương trình $2cos x – sin x + 4 = 0$ $(1).$Ta có: $2^2 + ( – 1)^2 cho nên vì thế hàm số sẽ cho bao gồm tập xác định $D = R.$$y = fraccos x + 2sin x + 32cos x – sin x + 4$ $ Leftrightarrow (2y – 1)cos x – (y + 2)sin x = 3 – 4y$ $(2).$Để tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số ban sơ thì phương trình $(2)$ phải có nghiệm.$ Leftrightarrow (2y – 1)^2 + (y + 2)^2 ge (4y – 3)^2$ $ Leftrightarrow 11y^2 – 24y + 4 le 0$ $ Leftrightarrow frac211 le y le 2.$Vậy GTLN của hàm số đã cho là $2.$


bài toán 15: gồm bao nhiêu quý giá nguyên của thông số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = fracmsin x + 1cos x + 2$ nhỏ tuổi hơn $2.$


$5$

Ta cóBạn đề nghị đăng nhập để xem câu chữ này!Dễ thấy $cos x e – 2$, $forall x in R$ đề nghị hàm số tất cả tập xác minh là $D = R.$Ta tất cả $y = fracmsin x + 1cos x + 2$ $ Leftrightarrow ycos x + 2y = msin x + 1$ $ Leftrightarrow msin x – ycos x = 2y – 1.$Phương trình trên tất cả nghiệm lúc $m^2 + y^2 ge (2y – 1)^2$ $ Leftrightarrow 3y^2 – 4y + 1 – m^2 le 0.$$ Leftrightarrow frac2 – sqrt 1 + 3m^2 3 le y le frac2 + sqrt 1 + 3m^2 3$ $ Rightarrow y_max = frac2 + sqrt 1 + 3m^2 3 bởi vì $m in Z$ $ Rightarrow m in – 2; – 1;0;2;1 .$ Vậy bao gồm $5$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài xích toán.


vấn đề 16: trả sử $M$ là giá trị lớn số 1 và $m$ là giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của hàm số $y = fracsin x + 2cos x + 1sin x + cos x + 2$ bên trên $R.$ kiếm tìm $2M – 3m.$

A. $1 + sqrt 2 .$B. $0.$C. $1.$D. $8.$
D

Ta cóChọn D.Ta có: $sin x + cos x + 2 = 0$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 4 ight) = – 2$ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 4 ight) = – sqrt 2 $ (vô nghiệm).Do kia hàm số đang cho gồm tập khẳng định $D = R.$Ta có $y = fracsin x + 2cos x + 1sin x + cos x + 2$ $ Leftrightarrow (y – 1)sin x + (y – 2)cos x = 1 – 2y.$Hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi phương trình trên gồm nghiệm $ Leftrightarrow (1 – 2y)^2 le (y – 1)^2 + (y – 2)^2.$$ Leftrightarrow 2y^2 + 2y – 4 le 0$ $ Leftrightarrow – 2 le y le 1.$Do kia $m = – 2$, $M = 1.$Vậy $2M – 3m = 8.$


việc 17: call $M$, $m$ khớp ứng là giá chỉ trị lớn nhất và giá chỉ trị nhỏ nhất của hàm số $y = frac2sin x + 2cos x – 2.$ xác minh nào sau đây đúng?

A. $3m + M = 8.$B. $3m + M = – 8.$C. $3m + M = 0.$D. $3m + M = – frac83.$
B

Ta cóChọn B.Dễ thấy $cos x e 2$, $forall x in R$ nên hàm số có tập khẳng định là $D = R.$Ta bao gồm $y = frac2sin x + 2cos x – 2$ $ Leftrightarrow ycos x – 2sin x = 2 + 2y.$Để tồn tại giá chỉ trị lớn nhất và giá trị nhỏ dại nhất của hàm số ban đầu thì phương trình bên trên phải gồm nghiệm $ Leftrightarrow y^2 + 4 ge (2 + 2y)^2$ $ Leftrightarrow 3y^2 + 8y le 0$ $ Leftrightarrow – frac83 le y le 0.$Do đó $left{ eginarray*20lM = 0\m = – frac83endarray ight.$Vậy $3m + M = – 8.$


vấn đề 18: Tập quý hiếm của hàm số $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ là đoạn $.$ Tính tổng $T = a + b.$

A. $T = 0.$B. $T = -1.$C. $T = 1.$D. $T = 2.$
D

Ta cóChọn DCách 1: $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + sqrt 3 cos 2x = y – 1.$Để tồn tại giá bán trị lớn nhất và giá chỉ trị nhỏ nhất của hàm số thuở đầu thì phương trình trên phải gồm nghiệm $ Leftrightarrow 1^2 + (sqrt 3 )^2 ge (y – 1)^2$ $ Leftrightarrow y^2 – 2y – 3 le 0$ $ Leftrightarrow – 1 le y le 3.$Suy ra $y in < – 1;3>.$Vậy $T = – 1 + 3 = 2.$Cách 2: Ta có $y – 1 = sin 2x + sqrt 3 cos 2x.$ khía cạnh khác vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:$(y – 1)^2 = (sin 2x + sqrt 3 cos 2x)^2$ $ le (1 + 3)left( sin ^22x + cos ^22x ight) = 4$ $ Leftrightarrow – 2 le y – 1 le 2$ $ Leftrightarrow – 1 le y le 3.$Vậy $T = – 1 + 3 = 2.$Cách 3: $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ $ = 2sin left( 2x + fracpi 3 ight) + 1.$Do $sin left( 2x + fracpi 3 ight) in < – 1;1>$ nên $2sin left( 2x + fracpi 3 ight) + 1 in < – 1;3>.$Vậy $ – 1 le y le 3.$


câu hỏi 19: Tìm giá bán trị bự nhất, giá trị nhỏ tuổi nhất của hàm số $y = 3sin x + 4cos x – 1.$

A. $max y = 6$, $min y = – 4.$B. $max y = 8$, $min y = – 6.$C. $max y = 4$, $min y = – 6.$D. $max y = 6$, $min y = – 8.$
C

Ta cóChọn C.Ta có $y = 3sin x + 4cos x – 1$ $ Leftrightarrow 3sin x + 4cos x = y + 1$ $(*).$Ta coi $(*)$ như là phương trình cổ xưa với $a = 3$, $b = 4$, $c = y + 1.$Phương trình $(*)$ tất cả nghiệm khi và chỉ còn khi $a^2 + b^2 ge c^2$ $ Leftrightarrow 9 + 16 ge (y + 1)^2$ $ Leftrightarrow – 6 le y le 4.$Vậy $max y = 4$, $min y = – 6.$Chú ý:Ta rất có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski như sau:$|y + 1| = |3sin x + 4cos x|$ $ le sqrt left( 3^2 + 4^2 ight)left( sin ^2x + cos ^2x ight) = 5.$


Toán Lượng Giác bài viết hướng dẫn phương pháp giải việc tìm giá bán trị béo nhất, giá chỉ trị bé dại nhất của hàm số lượng giác.

Xem thêm: Tính Chất Vecto Trong Tam Giác, Vectơ Trọng Tâm Tam Giác


bài bác 1: Cho hàm số $y = sqrt 1 + 2sin ^2x + sqrt 1 + 2cos ^2x – 1.$ hotline $m$, $M$ lần lượt là giá trị nhỏ tuổi nhất cùng giá trị lớn số 1 của hàm số. Khi đó giá trị của $M + m$ bằng?

A. $sqrt 3 + 2sqrt 2 .$B. $sqrt 3 + sqrt 2 – 1.$C. $sqrt 3 + 2sqrt 2 – 1.$D. $ – sqrt 3 + 3sqrt 2 – 1.$
C

Ta có

Đặt $t = sqrt 1 + 2sin ^2x + sqrt 1 + 2cos ^2x .$

$ Rightarrow t^2 = left( 1 + 2sin ^2x ight) + left( 1 + 2cos ^2x ight)$ $ + 2sqrt left( 1 + 2sin ^2x ight)left( 1 + 2cos ^2x ight) $ $ = 4 + 2sqrt 3 + sin ^22x .$

$ Rightarrow t = sqrt 4 + 2sqrt 3 + sin ^22x $ $ ge sqrt 4 + 2sqrt 3 = 1 + sqrt 3 .$

$ Rightarrow y = sqrt 1 + 2sin ^2x + sqrt 1 + 2cos ^2x – 1 ge sqrt 3 .$

Dấu bằng xẩy ra khi $sin 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = frackpi 2.$ lúc ấy $m = sqrt 3 .$

Mặt khác: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

$sqrt 1 + 2sin ^2x + sqrt 1 + 2cos ^2x $ $ le sqrt left( 1^2 + 1^2 ight)left( 1 + 2sin ^2x + 1 + 2cos ^2x ight) $ $ = 2sqrt 2 .$$ Rightarrow y = sqrt 1 + 2sin ^2x + sqrt 1 + 2cos ^2x – 1$ $ le 2sqrt 2 – 1.$

Dấu bằng xảy ra khi $sin ^2x = cos ^2x$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20cx = – fracpi 4 + kpi \x = fracpi 4 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$ lúc đó $M = 2sqrt 2 – 1.$Vậy $M + m = sqrt 3 + 2sqrt 2 – 1.$


việc 2: Tìm giá bán trị lớn số 1 của hàm số $y = frac2sin x + 3cos x + 1sin x – cos x + 2.$

A. $frac3 + sqrt 33 2.$B. $frac3 – sqrt 33 2.$C. $3.$D. $frac12.$
A

Ta cóChọn ATa có: $y = frac2sin x + 3cos x + 1sin x – cos x + 2$ $ Leftrightarrow (y – 2)sin x – (y + 3)cos x = 1 – 2y.$$(1 – 2y)^2$ $ = <(y – 2)sin x – (y + 3)cos x>^2$ $ le left< (y – 2)^2 + (y + 3)^2 ight>left( sin ^2x + cos ^2x ight).$$ Leftrightarrow 2y^2 – 6y – 12 le 0.$$ Leftrightarrow frac3 – sqrt 33 2 le y le frac3 + sqrt 33 2.$


câu hỏi 3: Giá trị nhỏ tuổi nhất và giá trị lớn số 1 của hàm số $f(x) = sin ^2018x + cos ^2018x$ theo lần lượt là:

A. $frac12^1008$ và $2.$B. $frac12^1009$ với $1.$C. $0$ với $1.$D. $frac12^1008$ với $$ 1.$
D

Ta có

Chọn D.Đặt $a = sin ^2x$, $b = cos ^2x.$

Ta có: $sin ^2018x + cos ^2018x le sin ^2x + cos ^2x = 1.$

Dấu bằng xảy ra $ Leftrightarrow x = kfracpi 2.$

$sin ^2018x + cos ^2018x$ $ = 2left( fraca^1009 + b^10092 ight)$ $ ge 2left( fraca + b2 ight)^1009 = frac12^1008.$

Dấu bằng xẩy ra $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kfracpi 2.$

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $frac12^1008$, giá trị lớn nhất bằng $1.$


bài toán 4: HCho nhị số thực $x$, $y$ nằm trong $left( 0;fracpi 2 ight)$ và vừa lòng $cos 2x + cos 2y + 2sin (x + y) = 2.$ giá chỉ trị nhỏ nhất của $P = fraccos ^4xy + fraccos ^4yx$ bằng?

A. $frac23pi .$B. $frac3pi .$C. $frac2pi .$D. $frac5pi .$
C

Ta có

Chọn C.Ta bao gồm $cos 2x + cos 2y + 2sin (x + y) = 2$ $ Leftrightarrow sin ^2x + sin ^2y = sin (x + y).$Suy ra $x + y = fracpi 2.$Áp dụng BĐT cộng chủng loại $fraca^2m + fracb^2n ge frac(a + b)^2m + n$ ta được:$P ge fracleft( cos ^2x + cos ^2y ight)^2x + y$ $ = fracleft< cos ^2x + cos ^2left( fracpi 2 – x ight) ight>^2x + y$ $ = fracleft< cos ^2x + sin ^2x ight>^2x + y$ $ = frac2pi .$Dấu bằng xảy ra $ Leftrightarrow x = y = fracpi 4.$Nhận xét: việc suy ra $x + y = fracpi 2$ được chứng tỏ như sau:Với $x$, $y in left( 0;fracpi 2 ight)$ suy ra $fracpi 2 – x$, $fracpi 2 – y$ thuộc thuộc $left( 0;fracpi 2 ight).$Trên đoạn $left< 0;fracpi 2 ight>$, hàm $y = sin x$ đồng biến.Nếu $x + y > fracpi 2$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lx > fracpi 2 – y Rightarrow sin x > sin left( fracpi 2 – y ight) = cos y\y > fracpi 2 – x Rightarrow sin y > sin left( fracpi 2 – x ight) = cos xendarray ight.$$ Rightarrow sin ^2x + sin ^2y$ $ = sin x.sin x + sin y.sin y$ $ > sin x.cos y + sin y.cos x$ $ = sin (x + y)$: mâu thuẫn.Tương tự mang đến $x + y Trường hòa hợp $x + y = fracpi 2$: thỏa mãn.


việc 5: Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực vừa lòng $a^2 + b^2 + c^2 = 4.$ Tìm giá chỉ trị lớn nhất $M$ trong tất cả các hàm số $y = a + bsqrt sin x + csqrt cos x $ cùng với $x in left( 0;fracpi 4 ight>.$

A. $M = sqrt 1 + sqrt 2 .$B. $M = 1 + sqrt 2 .$C. $M = 2sqrt 1 + sqrt 2 .$D. $M = 2(1 + sqrt 2 ).$
C

Ta cóChọn C.Ta gồm $(a + bsqrt sin x + csqrt cos x )^2$ $ le left( a^2 + b^2 + c^2 ight)(1 + sin x + cos x)$ $ = 4left< 1 + sqrt 2 sin left( x + fracpi 4 ight) ight>$ $ le 4(1 + sqrt 2 ).$Suy ra $a + bsqrt sin x + csqrt cos x le 2sqrt 1 + sqrt 2 .$Dấu bằng xảy ra $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = fracbsqrt sin x = fraccsqrt cos x \a^2 + b^2 + c^2 = 4\sin left( x + fracpi 4 ight) = 1endarray ight.$, $x in left( 0;fracpi 4 ight>$ $ Rightarrow left{ {eginarray*20leginarrayla = frac2sqrt<4>2sqrt 2 + sqrt 2 \b = c = frac2sqrt 2 + sqrt 2 endarray\x = fracpi 4


việc 6: : Tập giá trị của hàm số $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ là đoạn $.$ Tính tổng $T = a + b.$