Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vị f(x) là hàm nhiều thức thường xuyên trên R.

Ta tất cả

*
và có
*
. Bởi
*
với mọi m.

Do kia luôn luôn có tối thiểu 1 nghiệm trong khoảng

*
với tất cả m.

Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.

b).

*
(1)

Đặt

*
. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì chưng f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta bao gồm

*
và tất cả
*
. Từ kia suy ra
*
*
luôn luôn có tối thiểu 1 nghiệm
*

Xét ngôi trường hợp:

*

*

Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.

c).

*
(1)

Đặt

*
. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì chưng f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta có:

*
.

Ta có:

*

*
với tất cả m.

luôn có tối thiểu 1 nghiệm

*
với mọi m.

Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.

d).

*
*
(1)

Đặt

*
. Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Do f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Chọn nghiệm, mang lại

*

Ta có:

*

Ta có:

*

*
luôn luôn có tối thiểu 1 nghiệm
*
. Tóm lại phương trình (1) luôn có nghiệm với tất cả giá trị m.




Bạn đang xem: Chứng minh phương trình có nghiệm

Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm:

a).

*
b).
*


LỜI GIẢI

a). Đặt

*
. Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Do f(x) là hàm nhiều thức tiếp tục trên R.

Ta gồm

*
với
*
, cần suy ra
*
với mọi m. Vì vậy luôn luôn có tối thiểu 1 nghiệm
*
với mọi m.

b). Đặt

*
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vày f(x) là hàm nhiều thức tiếp tục trên R.

Ta tất cả

*
và gồm
*
, đề xuất suy ra
*
với đa số m.

Do kia luôn luôn có ít nhất 1 nghiệm

*
với đa số m.


Chứng minh các phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:

a).

*
b).
*


LỜI GIẢI

a). Đặt

*
. Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vày f(x) là hàm nhiều thức tiếp tục trên R.

Ta gồm

*
,
*

*
phương trình luôn có ít nhất 1 nghiệm
*

*
phương trình có tối thiểu 1 nghiệm
*

Từ

*
phương trình (1) luôn luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.


Chứng minh phương trình

*
có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng
*


LỜI GIẢI

Đặt

*

Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức thường xuyên trên R.

Ta có

*
với
*
.

*
phương trình có tối thiểu 1 nghiệm thuộc khoảng chừng
*


Chứng minh phương trình

*
có tối thiểu một nghiệm âm to hơn .


LỜI GIẢI

Đặt

*
. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Bởi vì f(x) là hàm đa thức tiếp tục trên R.

Ta có: , với

*
. Từ kia suy ra
*
. Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm thuộc khoảng tầm .

Kết luận phương trình luôn luôn có ít nhất 1 nghiệm âm lớn hơn .


Cho hàm số cùng

*
. Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng .


LỜI GIẢI

Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vày f(x) là hàm nhiều thức liên tục trên R.

Ta có với

*

Theo đề bài bác có

*

Ta có :

*


Cho hàm số

*

a). Chứng tỏ

*

b). Chứng tỏ phương trình không có nghiệm thuộc khoảng chừng


LỜI GIẢI

a. Ta tất cả và

*
*

b. Do hàm số không liên tiếp trên không có nghiệm

*


6. Chứng minh rằng phương trình

*
tất cả nghiệm.


LỜI GIẢI

Đặt

*
phương trình đang cho vươn lên là
*

Hàm số

*
tiếp tục trên R.

Ta có :

*

Do

*
, suy ra phương trình
*
có nghiệm trực thuộc
*

Vậy phương trình vẫn cho gồm nghiệm.


7. Chứng tỏ các phương trình sau tất cả nghiệm:

a)

*
b)
*
c)
*
d)
*


LỜI GIẢI

a). Đặt

*
thì tiếp tục trên R với
*

Hàm số liên tiếp trên R, gồm suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng . Vậy phương trình vẫn cho gồm nghiệm.

b). Đặt

*
thì liên tiếp trên R với
*

Hàm số tiếp tục trên R, gồm suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng , suy ra phương trình gồm nghiệm.

c). Đặt

*
thì liên tiếp trên R cùng
*

Hàm số liên tục trên R, bao gồm suy ra phương trình tất cả nghiệm thuộc khoảng . Vậy phương trình sẽ cho bao gồm nghiệm.

d). Đặt

*
thì liên tục trên R cùng
*

Hàm số liên tiếp trên R, gồm suy ra phương trình tất cả nghiệm thuộc khoảng tầm . Vậy phương trình đang cho bao gồm nghiệm.


10. Chứng tỏ rằng ví như với

*
thì phương trình có nghiệm thuộc khoảng tầm
*


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì liên tiếp trên R.

Ta gồm

*

*
(do )

*
do đó
*

-Với

*
phương trình đã mang đến ( kí hiệu là phương trình biến
*

Suy ra

*
hoặc
*

+Nếu thì trường đoản cú

*
và đk suy ra
*
. Lúc đó phương trình bao gồm nghiệm là
*
, suy ra phương trình gồm nghiệm

+ trường hợp

*
thì
*
(vì nếu như
*
thì từ đk suy ra )

suy ra phương trình có nghiệm

*

Khi đó từ điều kiện và suy ra

*

Do kia phương trình tất cả nghiệm

-Với

*
là nghiệm thuộc .

- với và

*
có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng
*

*
(vì
*
) cần phương trình bao gồm nghiệm

Vậy phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng tầm .


12. Minh chứng rằng với mọi số thực a, b, c phương trình

*
có tối thiểu một nghiệm.


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì liên tục trên R.

Không giảm tính tổng quát, giả sử

*

-Nếu

*
hoặc
*
thì
*
suy ra phương trình có nghiệm
*

-Nếu

*
thì
*
với
*
do đó tồn tại thuộc khoảng tầm
*
để
*

Vậy phương trình đang cho luôn có tối thiểu một nghiệm.


8. Chứng tỏ phương trình

*
có tía nghiệm trên khoảng


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì thường xuyên trên R.

*

*

Do đó

*
từ đặc thù của hàm số tiếp tục , suy ra tất cả nghiệm thuộc khoảng tầm
*
suy ra phương trình có tía nghiệm trên khoảng tầm


10. Chứng minh rằng với tất cả a, b, c phương trình

*
luôn có nghiệm.


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì thường xuyên trên R.

Ta có: nhằm

*
để
*

Như vậy gồm

*
nhằm
*
suy ra phương trình tất cả nghiệm
*
vậy phương trình sẽ cho luôn có nghiệm.


11. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình

*
có tối thiểu hai nghiệm phân biệt.


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì liên tiếp trên R.

Ta có:

*

nhằm

*
để
*

Do kia

*
suy ra phương trình có nghiệm trong tầm

*
suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng mà các khoảng cùng ko giao nhau, cho nên vì vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.


12. Chứng minh rằng phương trình

*
có nghiệm nhưng

*


LỜI GIẢI

Cách 1: Đặt

*
ta bao gồm phương trình
*

Ta chứng tỏ phương trình gồm nghiệm

*

Đặt

*
phương trình trở thành:

*

*

Ta minh chứng bao gồm nghiệm trong khoảng

*

Đặt

*
thì
*
tiếp tục trên R.

Ta có

*

Nên

*

*

Do kia

*

Suy ra

*
vậy phương trình bao gồm nghiệm
*
từ kia suy ra điều cần chứng minh.

Cách 2: (sử dụng lượng giác)

Từ công thức

*

Do đó

*
xuất xắc
*
với
*

Từ công thức này suy ra:

*

Nghiệm của phương trình đang cho rất có thể tìm được bên dưới dạng :

*
, sao để cho
*

Đặt

*
, phương trình đã cho trở thành:

*

*

*

Lấy

*
ta được
*
và nghiệm
*
vừa lòng điều kiện sẽ nêu.


Chứng minh rằng phương trình

*
có tía nghiệm thực phân biệt. Hãy tra cứu 3 nghiệm đó.


Đặt

*
; tập xác minh
*
suy ra hàm số tiếp tục trên . Ta gồm
*
suy ra
*
. Trường đoản cú 3 bất đẳng thức này và tính liên tục của hàm số suy ra pt có ba nghiệm biệt lập thuộc
*
. Đặt
*
thế vào pt ta được:

*
, kết phù hợp với
*
ta được
*
. Cho nên vì vậy phương trình vẫn cho gồm 3 nghiệm:

*
.


Cho phương trình:

*
(
*
là ẩn, là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của phương trình đã mang lại có tối thiểu ba nghiệm thực phân biệt.


LỜI GIẢI

Đặt

*
ta được xác minh và tiếp tục trên .

Ta bao gồm

*

Do đó ta được

*
nên phương trình gồm nghiệm trực thuộc
*
suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt.


Tìm n số nguyên dương nhỏ tuổi nhất làm sao để cho phương trình bao gồm nghiệm.


Ta bao gồm

*
. Đặt
*
.

Điều kiện để hàm số xác minh

*
.

Nếu n lẻ: hàm số xác minh

*
.

Nếu n chẵn: Hàm số khẳng định

*
. Khi ấy là hàm số chẵn bên trên tạp xác định của nó phải nếu phương trình có nghiệm
*
thì cũng có thể có nghiệm
*
. Vì vậy ta chỉ việc xét trường thích hợp
*
.

Ta tất cả

*

Ta bao gồm

*
*
. Vết xẩy ra khi
*
hệ này vô nghiệm. Vì vậy
*

*
phương trình vô nghiệm lúc
*
.

Với ta gồm

*
.

Có ,

*
.

*
. Tự đó tất cả
*
(1).

Hàm số xác định và liên tục trên

*
cho nên hàm số f(x) thường xuyên trên đoạn
*
(2). Trường đoản cú (1) cùng (2) suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trong vòng
*
.

Kết luận là số nguyên dương nhỏ dại nhất thế nào cho phương trình tất cả nghiệm.


Cho hàm số

*

a). Chứng minh phương trình tất cả nghiệm .

b). Quanh đó

*
cùng
*
hãy chứng minh
*
.


LỜI GIẢI

Ta gồm

*
*
nên
*
(1). Vị hàm số khẳng định và liên tiếp trên R nên nên hàm số f(x) thường xuyên trên đoạn
*
(2). Tự (1) với (2) suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng chừng .

Ta tất cả

*
. Vì là nghiệm của phương trình phải
*
.

Đặt

*
vày
*
cùng
*
.

Áp dụng định lý Cauchy mang lại hai số ko âm

*
và 3 ta có
*
.

Dấu xẩy ra

*
.


Chứng minh lúc

*
thì phương trình
*
có bố nghiệm dương phân biệt.


LỜI GIẢI

Đặt

*

*
.

Ta bao gồm

*
,
*
,
*
,
*
. Tự đó có
*
(1). Vì hàm số liên tiếp và xác định trên R đề nghị hàm số thường xuyên trên các đoạn
*
*
*
(2). Từ bỏ (1) cùng (2) suy ra phương trình có ba nghiệm dương phân biệt lần lượt thuộc các khoảng
*
*
*
.


Cho

*
*
thỏa
*
. Chứng tỏ rằng phương trình sau tất cả nghiệm:
*
.


LỜI GIẢI

Đặt

*
. Có hàm số f(x) liên tục trên đoạn
*
(1).

Ta gồm

*

*
.

*

*
.

*
(2).

Từ (1) cùng (2) suy ra phương trình tất cả nghiệm

*
.


Chứng minh với mọi tham số m phương trình sau luôn luôn có nghiệm thực:

*


LỜI GIẢI

Đặt

*
.

Ta có

*
cùng
*
bắt buộc (1). Do hàm số f(x) khẳng định và liên tiếp trên R nên f(x) tiếp tục trên đoạn
*
(1). Trường đoản cú (1) cùng (2) suy ra phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng chừng .


Chứng minh rằng phương trình

*
có cha nghiệm phân biệt với đa số giá trị của thông số m.


Đặt

*
. Ta có:

*
.

*
.

*
.

*
.

Từ kia ta có

*
(1). Hàm số f(x) xác định và liên tục trên R do đó f(x) liên tục trên những đoạn
*
(2). Từ bỏ (1) và (2) suy ra phương trình có ba nghiệm sáng tỏ lần lượt thuộc các khoảng
*
.


Chứng minh phương trình có tối thiểu 2 nghiệm với

*
m,n,p
*
.


Xét phương trình: (1)

Xét hàm số:

*

*
*
làm sao để cho
*
.

*
*
thế nào cho
*

*

Hàm số f(x) tiếp tục trên các đoạn

*
với
*

*

*
phương trình có tối thiểu 1 nghiệm
*
và tối thiểu 1 nghiệm
*
.

Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.

*




Xem thêm: Chuyên Đề Lớp 6: Tóm Tắt Các Dạng Bài Tập Về Tập Hợp Lớp 6 : Bài Tập Hợp

Cho phương trình:

*

a). Cùng với

*
chứng tỏ rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

b). Với

*
, mang sử phương trình gồm nghiệm, minh chứng


LỜI GIẢI

a)

Đặt

*
tiếp tục trên R.

Ta có:

*

Mặt không giống

*
, yêu cầu tồn trên 2 số
*
cùng
*
làm thế nào cho
*
*
. Cho nên
*
. Vậy phương trình có tối thiểu hai nghiệm sáng tỏ thuộc hai khoảng chừng
*
với
*
.

b).

*
gọi
*
là nghiệm của phương trình ( -->