Số các số hạng của công thức là n + 1Tổng số nón của a cùng b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức:

( n – k) + k = n

Số hạng tổng thể của nhị thức là:

Tk+1 = Cnk an-k bk ( Đó là số hạng vật dụng k + một trong các khai triển ( a + b)n )

Các hệ số nhị thức bí quyết đều nhì số hạng đầu, cuối thì bằng nhau

*

Một số kỹ năng liên quan

Công thức khai triển nhị thức newton:

*

Công thức số tổ hợp

*

Tính chất lũy thừa

*

BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON

Cách giải bài toán tìm số hạng trang bị k trong khai triển nhị thức Newton

Bước 1: triển khai nhị thức newton nhằm tìm số hạng tổng quát:

*

Bước 2: phụ thuộc vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bởi nhau

Số hạng chứa xm ứng với mức giá trị k thỏa: np – đại chiến + qk = m

Từ kia tìm: k = ( m – np) / ( p. – q)

Vậy hệ số của số hạng cất xm là: Cnk an-k bk với cái giá trị k đã tìm kiếm được ở trên

Nếu k ko gnhuyeen hoặc k > n thì trong khai triển không chứa xm, hệ số phải tìm bằng 0

Chú ý: xác minh hệ số của số hạng chứa xm vào khai triển

P(x) = ( a + bxp + cxq)n được viết bên dưới dạng a0 + a1x + …+ a2nx2n

Ta làm như sau:

Viết p (x) = ( a + bxp + cxq)n

*

Viết số hạng tổng thể khi khai triển các số hạng dạng bxp + cxqThành một nhiều thức theo lũy thừa của xTừ số hạng bao quát của hai khai triển trên ta tính được thông số của xm

Chú ý: Để xác minh hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức newton

Ta làm như sau:

Tính thông số ak theo k cùng nGiải bất phương trình sau cùng với ẩn số k

*

Hệ số lớn số 1 phải tìm ứng với số tự nhiên k béo nhất vừa lòng bất phương trình trên

Ví dụ 1: tìm kiếm số hạng vật dụng 21 trong triển khai ( 2 – 3x)25

Giải

Số hạng vật dụng 21 trong triển khai là:

C2025. 25 ( -3x)20 = 25. 320. C2025. X20

Ví dụ 2: tìm kiếm số hạng chính giữa trong triển khai (3x2 –y)10

Giải:

Trong triển khai (3x2 –y)10 có toàn bộ 11 số hạng đề nghị số hạng ở vị trí chính giữa là số hạng lắp thêm 6. Vậy thông số của số hạng thiết bị 6 là -35 .C510

Ví dụ 3: Tìm hệ số của x3 , (x >0) trong triển khai sau:

*

Giải:

Số hạng tổng thể trong triển khai trên là: Tk + 1 = Ck6 .x6-k. 2k. X(-k/2)

Yêu cầu bài toán xẩy ra khi 6 – k – ( k /2) = 3 => k = 3

Khi đó hệ số của x3 là: C36.23 = 160

Bài toán tìm thông số trong khai triển nhị thức Newton.

Tìm thông số xk trong khai triển nhị thức newton

Phương pháp chung:

Sử dụng cách làm khai triển nhị thức newtonTìm số hạng gồm chứa xk cùng tìm thông số tương ứng

Ví dụ: Tìm thông số của x3 trong khai triển ( 2 + x)5

Giải:

Ta có

*

Cho k = 3 ta được thông số của x3 là: C35.


Bạn đang xem: Công thức khai triển nhị thức newton


Xem thêm: Tổng Hợp Chứng Minh Hai Mặt Phẳng Song Song Song, Hai Mặt Phẳng Song Song Khi Nào

25-3 = 40

Bài toán tính tổng, minh chứng đẳng thức

Phương pháp giải

Sử dụng khai triển:

(a + b)n = C0n an + C1n an-1b + C2n an-2b2 + …+ Cn-1 n abn-1 + Cnn bn

Suy ra điều yêu cầu chứng minh

Bằng giải pháp thay a, b, n bằng những giá trị thích hợp ta đã được các đẳng thức.

Bài toán ứng dụng nhị thức newton trong những bài liên quan đến tổ hợp

Phương pháp giải những bài toán vận dụng nhị thức newton trong những bài tương quan đến tổ hợp

Chọ một triển khai ( a+ x)n phù hợp, ở đây a là hằng sốSử dụng những phép thay đổi đại số hoặc đem đạo hàm, tích phânDựa vào đk bài toán, nạm x vày một giá bán trị núm thể

Bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tổ hợp

Ví dụ: Giải bất phương trình sau: ( A22x – A2x 3x + 10

Giải:

Điều kiện: x buộc phải là một trong những nguyên dương cùng x > = 3

Ta bao gồm bất phương trình sẽ cho tương tự với:

*

Vì x là nghiệm nguyên dương với x > = 3 buộc phải x nằm trong 3 ; 4

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài tập 1: Tìm thông số của x5 trong khai triển của biểu thức sau:

*

Giải:

Công thức khai triển của biểu thức là:

*

Để số hạng đựng x5 vậy k = 2 cùng n = 3

Vậy hệ số của x5 là C211 + C37 = 90

Bài tập 2: Tính B = 2n C0n – 2n-1 C1n + 2n-2 C2n + … + (-1)k 2n-k Ckn + … + (-1)2 Cnn

Giải:

*

Bài tập 3: Tính C = C610 + C710 + C810 + C910 + C1010

Giải:

*

Bài tập 4: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành nhiều thức của biểu thức:

x( 1- 2x)5 + x2 (1 + 3x)10

Bài tập 5: cùng với n là số nguyên dương, hotline a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành nhiều thức của ( x2 + 1)n ( x + 2)n. Kiếm tìm n nhằm a3n – 3 = 26n

Bài tập 6: Tính tổng S = C02013 + 3 C12013 + 32 C22013 + … + 32013 C20132013

*

Bài tập 7: Tìm thông số của số hạng đựng x10 trong khai triển biểu thức:

*

Bài tập 8: Tìm cha số hạng thứ nhất theo lũy thừa tăng ngày một nhiều của x trong khai triển ( 1 + 2x)10

Bài tập 9: Tìm hệ số của x5 vào khai triển p (x) = ( x+1)6 + ( x+1)7 + … + ( x+1)12