A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Trong mặt phảng Oxy mang đến hai điểm

*
(-c ; 0),
*
(c ; 0) cùng độdài không đổi 2a (a > c > 0).Elip (E) là tập hợp những điểm M sao cho
*
M
+
*
M
= 2a (h.3.4). Ta hoàn toàn có thể viết:(E)=
*
M +
*
M
= 2.

2. Phương trình bao gồm tắc của elip (E) là : 


3. Những thành phần của elip (E) là :

– nhì tiêu điểm :

*
(- c ; 0),
*
(c ; 0);

– bốn đỉnh :

*
(- a ; 0),
*
 
(a ; 0),
*
{0 ; -b),
*
(0 ; b);

– Độ lâu năm trục to :

*
*
= 2a ;

– Độ nhiều năm trục nhỏ dại

*
*
= 2b ;

– Tiêu cự :

*
*
= 2c (h.3.5).

Bạn đang xem: Độ dài trục lớn của elip

4. Bề ngoài của elip (E):

– (E) có hai trục đối xứng là Ox, Oy và tất cả tâm đối xứng là gốc toạ độ ;

– phần lớn điểm của elip (E) kế bên bốn đỉnh đều bên trong hình chữ nhật có form size 2a cùng 2b số lượng giới hạn bởi các đường trực tiếp x = ± a, y = ± b. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật các đại lý của elip.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

* VẤN ĐỀ 1

Lập phương trình chủ yếu tắc của một elip khi biết những thành phần đủ nhằm xác đinh elip đó

1. Phương pháp

– Từ những thành phần vẫn biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm kiếm được phương trình bao gồm tắc của elip.– Lập phương trình thiết yếu tắc của elip theo công thức :– Ta có các hệ thức (h.3.6):• 0 •

*
=
*
 
*
 •
*
*
= 2c (tiêu cự)•
*
*
= 2a (độ dài trục lớn)•
*
*
= 2b (độ dài trục nhỏ)• M ∈ (E) ⇔
*
M +
*
M= 2a.

– Ta có toạ độ những điểm quan trọng đặc biệt của elip (E):• hai tiêu điểm :

*
(- c ; 0),
*
(c ; 0);
• nhì đỉnh trên trục mập :
*
(- a ; 0),
*
 (a ; 0),• nhì đỉnh bên trên trục nhỏ tuổi :
*
(0 ; -b),
*
(0 ; b);

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Lập phương trình bao gồm tắc của elip (E) trong những trường đúng theo sau

a) Độ dài trục lớn bởi 10 và tiêu cự bởi 6 ;

b) Một tiêu điểm là vấn đề (-

*
; 0 ) cùng điểm ( 1;
*
) nằm trên elip

GIẢI

a) Ta tất cả 2a = 10 suy ra a = 5, 2c = 6 ⇒ c = 3

*
*
 
*
= 25 – 9 = 16.Vì (E) tất cả một tiêu điểm
*
(-
*
; 0 ) bắt buộc c =
*
. Ta tất cả :

Ví dụ 2. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường thích hợp sau

a) Một đỉnh bên trên trục lớn là điểm (3 ; 0) cùng một tiêu điểm là vấn đề (-2 ; 0);

b) (E) đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N(1;

*

GIẢI

a) Ta bao gồm a = 3 ; c = 2.Suy ra

*
*
 
*
= 9 – 4 = 5.Vậy phương trình chủ yếu tắc của elip là :

b) Phương trình chủ yếu tắc của (E) tất cả dạng :

* VẤN ĐỀ 2

Xác định các thành phần của một elip lúc biết phương trình thiết yếu tắc của elip đó

1. Phương pháp

– Trục mập của (E) nằm tại Ox,

*
*
= 2a

– Trục bé dại của (E) nằm trong Oy, 

*
*
= 2b

– nhì tiêu điểm :

*
(- c ; 0),
*
(c ; 0) cùng với c =
*
– Tiêu cự :
*
M +
*
M
 = 2c ;

– tứ đỉnh : 

*
(- a ; 0),
*
 (a ; 0),
*
(0 ; -b),
*
(0 ; b);

– Tỉ số c / a 

– Phương trình những đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cửa hàng làx = ±a ; y = ±b.

Thật vậy, ta bao gồm :

*
=
*
+
*

*
=
*
+
*

Suy ra

*
*
= 4cx (1) 

Theo có mang của elip ta tất cả :

*
M +
*
M
 = 2a (2) 

Chia (1) mang lại (2) ta được :

*
*
= 2(c/a)x (3) 

Từ (2) cùng (3) ta tính được

*
M và 
*
M
. 

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. xác minh độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ những đỉnh và vẽ elip (E) gồm phương trình

GIẢI

c =

*
= 4.

Vậy (E) bao gồm :

– Trục bự :

*
*
= 2a =10 ;

– Trục bé dại :

*
*
= 2b = 6;

– nhì tiêu điểm :

*
 (- 4 ; 0),
*
(4 ; 0 )

– tư đỉnh :

*
(- 5 ; 0),
*
(5 ; 0), 
*
(0 ; – 3),
*
(0 ; 3).

Hình vẽ của (E) như hình 3.8.

Ví dụ 2. mang lại elip (E) gồm phương trìnhHãy viết phương trình mặt đường tròn (C) có đường kính là

*
*
 trong kia
*
với
*
là hai tiêu điểm của (E).

GIẢI

Ta tất cả

*
= 100,
*
= 36.

Suy ra

*
=
*
*
= 64 => c = 8.

Đường tròn 2 lần bán kính

*
*
có tâm là gốc toạ độ với có bán kính R = c = 8. Vậy phương trình của (C) là :
*
+
*
= 64.

* VẤN ĐỀ 3

Chứng minh điểm M cầm tay trên một elip

1. Phương pháp

Để chứng minh điểm M cầm tay trên một elip ta có hai bí quyết (h.3.9): Cách 1 : minh chứng tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định và thắt chặt

*
,
*
là một trong hằng số 2a (
*
*
khi ấy M cầm tay trên elip (E) bao gồm hai tiêu điểm
*
,
*
cùng trục béo là 2a.Cách 2 : chứng tỏ trong phương diện phẳng toạ độ Oxy điểm M(x ; y) tất cả toạ độ đống ý phương trình

với a, b là nhị hằng số vừa lòng 0

2. Các ví dụ

GIẢI

*
Ta gồm
*
= R + 
*
*
*
– R.
Suy ra 
*
*
*
*

Vậy M di động cầm tay trên elip gồm hai tiêu điểm là 

*
và 
*
và có trục béo là 2a
*
*

Ví dụ 2. Trong phương diện phẳng tọa độ Oxy mang đến điểm M(x ; y) di động bao gồm tọa độ luôn luôn thỏa mãn

trong đó t là tham số cầm cố đổi.

Hãy chứng tỏ điểm M cầm tay trên một elip.

GIẢI

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.28. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường phù hợp sau :

a) Độ dài trục nhỏ tuổi bằng 12 cùng tiêu cự bằng 16 ;

b) Một tiêu điểm là (12 ; 0) với điểm (13 ; 0) vị trí elip.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.29. tìm kiếm toạ độ các tiêu điểm, những đỉnh, độ dài những trục của mỗi elip bao gồm phương trình sau:

a) 4

*
+ 9
*
= 36 ;

b)

*
+ 4
*
= 4.

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.30. mang lại đường tròn C (

*
; 2a) cố định và thắt chặt và một điểm
*
thế đinh bên trong (
*
). 
Xét đường tròn di động cầm tay (C) tất cả tâm M. Cho thấy (C) luôn đi qua điểm
*
(C) luôn luôn tiếp xúc với (
*
).
Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.31. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(x; y) di động bao gồm toạ độ luôn thoả mãn

trong kia t là tham số. Hãy chứng minh M di động cầm tay trên một elip. 

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.32. Viết phương trình chủ yếu tắc của elip trong những trường thích hợp sau :

a) Độ lâu năm trac lớn bởi 26 với tỉ số c/a bằng 5/13 ;

b) Tiêu điểm

*
(-6 ; 0) với tỉ số c/a bằng 2/3.

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.33. Viết phương trình chính tắc của elip (E) tất cả hai tiêu điểm là

*
 và 
*
biết

và tam giác

*
vuông trên M.

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.34. mang đến elip (E): 9

*
+ 25
*
= 225.

a) tìm kiếm toạ độ hai tiêu điểm

*
,
*
 
và các đỉnh của (E).

b) search điểm M ∈ (E) làm sao cho M nhìn

*
*
 dưới một góc vuông.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.35. 

a) Trục to bằng cha lần trục bé dại ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ tuổi nhìn nhị tiêu điểm bên dưới một góc vuông ;

c) khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.36.

Xem thêm: Tìm Thiết Diện Của Hình Chóp Cắt Bởi Mặt Phẳng, Phương Pháp Xác Định Thiết Diện Của Hình Chóp

mang đến elip (E) : 4

*
+ 9
*
= 36 và điểm M( 1 ; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại nhị điểm A với B sao cho M là trung điểm của AB.