Ôn tập lại kim chỉ nan và phía dẫn phương pháp giải những dạng toán về hệ thức lượng trong tam giác làm việc lớp 10 qua những ví dụ có giải thuật chi tiết.

Bạn đang xem: Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10

Chúng ta đề xuất nhớ những công thức và định lý trước lúc áp dụng vào giải bài tập.


A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định lí côsin

Trong tam giác $ABC$ với $BC = a$, $AC = b$ và $AB = c.$ Ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc.cos A.$ $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca.cos B.$ $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.cos C.$

*
*
*
*
*
*
*
*

Áp dụng cách làm đường trung tuyến đường với tam giác $ABC$ và $ADC$ ta có: $AB^2 + BC^2 = 2BE^2 + fracAC^22$ $(1).$ $CD^2 + DA^2 = 2DE^2 + fracAC^22$ $(2).$ từ bỏ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = 2left( BE^2 + DE^2 ight) + AC^2.$ ngoài ra $EF$ là mặt đường trung con đường tam giác $BDF$ nên: $BE^2 + DE^2 = 2EF^2 + fracBD^22.$ Suy ra $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4EF^2.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài 1: chứng minh rằng trong phần lớn tam giác $ABC$ ta có: a) $a = b.cos C + c.cos B.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B.$ c) $h_a = 2Rsin Bsin C.$ d) $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$ $ = frac34left( a^2 + b^2 + c^2 ight).$ e) $S_Delta ABC = frac12sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB .overrightarrow AC )^2 .$

a) Áp dụng định lí côsin ta có: $VP = b.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ + c.fracc^2 + a^2 – b^22ca$ $ = fraca^2 + b^2 – c^2 + c^2 + a^2 – b^22a$ $ = a = VT.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B$ $ Leftrightarrow fraca2R = fracb2R.cos C + fracc2R.cos B$ $ Leftrightarrow a = bcos C + ccos B$ (câu a). C) $h_a = 2Rsin Bsin C$ $ Leftrightarrow frac2Sa = 2Rfracb2Rsin C$ $ Leftrightarrow S = frac12absin C$ (đúng). D) Áp dụng công thức đường trung tuyến. E) $sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB. overrightarrow AC )^2 $ $ = AB.ACsqrt 1 – cos ^2A $ $ = AB.AC.sin A.$ Từ đó suy ra điều bắt buộc chứng minh.

Bài 2: mang lại tam giác $ABC.$ chứng tỏ rằng: a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2h_a = frac1h_b + frac1h_c.$ b) Góc $A$ vuông $ Leftrightarrow m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2.$

a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2Sh_b + frac2Sh_c = 2.frac2Sh_a$ $ Leftrightarrow frac1h_b + frac1h_c = frac2h_a.$ b) $m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2$ $ Leftrightarrow frac2left( a^2 + c^2 ight) – b^24$ $ + frac2left( a^2 + b^2 ight) – c^24$ $ = 5.frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24.$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow $ góc $A$ vuông.

Bài 3: mang lại tam giác $ABC$ thỏa mãn $a^4 = b^4 + c^4.$ chứng tỏ rằng: a) Tam giác $ABC$ nhọn. B) $2sin ^2A = an B an C.$

a) thường thấy $a > b$, $a > c$ $ Rightarrow $ góc $A$ là to nhất. Cùng $a^4 = b^4 + c^4 còn mặt khác theo định lí côsin ta có: $cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ Rightarrow cos A > 0.$ vì vậy $widehat A b) $2sin ^2A = an B an C$ $ Leftrightarrow 2sin ^2Acos Bcos C = sin Bsin C.$ $ Leftrightarrow 2left( fraca2R ight)^2.fraca^2 + c^2 – b^22ac.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ = fracb2R.fracc2R$ $ Leftrightarrow a^4 = b^4 + c^4.$

Bài 4: call $S$ là diện tích s tam giác $ABC.$ chứng tỏ rằng: a) $S = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = Rr(sin A + sin B + sin C).$

a) Ta gồm $S = fracabc4R$ $ = frac2Rsin A.2Rsin B.2Rsin C4R$ $ = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = pr$ $ = fraca + b + c2r$ $ = frac2Rsin A + 2Rsin B + 2Rsin C2r.$

Bài 5: cho tứ giác lồi $ABCD$, hotline $alpha $ là góc hợp do hai đường chéo cánh $AC$ cùng $BD.$ chứng minh diện tích $S$ của tứ giác cho vì công thức: $S = frac12AC.BD.sin alpha .$

Gọi $I$ là giao điểm hai tuyến phố chéo. Lúc đó: $S = S_ABI + S_BC1 + S_CDI + S_DAI.$ $ = frac12AI.BI.sin widehat AIB$ $ + frac12BI.CI.sin widehat BIC$ $ + frac12CI.DI.sin widehat CID$ $ + frac12DI.AI.sin widehat DIA.$ Ta có những góc $widehat AIB$, $widehat BIC$, $widehat CID$ với $widehat DIA$ song một bù nhau suy ra: $sin widehat AIB = sin widehat BIC$ $ = sin widehat CID = sin widehat DIA$ $ = sin alpha .$ cho nên vì vậy $S = frac12BI.AC.sin alpha $ $ + frac12ID.AC.sin alpha $ $ = frac12AC.BD.sin alpha .$

DẠNG TOÁN 4: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng định lí côsin, định lí sin, bí quyết đường trung tuyến, công thức tính diện tích s tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức contact cạnh (hoặc góc) từ kia suy ra dạng của tam giác.

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: mang lại tam giác $ABC$ thoả mãn $sin C = 2sin Bcos A.$ minh chứng rằng tam giác $ABC$ cân.

Áp dụng định lí côsin với sin ta có: $sin C = 2sin Bcos A$ $ Leftrightarrow fracc2R = 2.fracb2R.fracb^2 + c^2 – a^22bc.$ Suy ra tam giác $ABC$ cân nặng tại đỉnh $C.$

Ví dụ 2: đến tam giác $ABC$ nhất trí $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$ chứng tỏ rằng tam giác $ABC$ vuông.

Xem thêm: Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Lop 11, Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

Ta có: $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C$ $ Leftrightarrow sin A(cos B + cos C)$ $ = sin B + sin C.$ $ Leftrightarrow fraca2Rleft( fracc^2 + a^2 – b^22ca + fraca^2 + b^2 – c^22ab ight)$ $ = fracb + c2R.$ $ Leftrightarrow bleft( c^2 + a^2 – b^2 ight) + cleft( a^2 + b^2 – c^2 ight)$ $ = 2b^2c + 2c^2b.$ $ Leftrightarrow b^3 + c^3 + b^2c + bc^2 – a^2b – a^2c = 0$ $ Leftrightarrow (b + c)left( b^2 + c^2 ight) – a^2(b + c) = 0.$ $b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ vuông trên $A.$

Ví dụ 3: dìm dạng tam giác $ABC$ trong những trường hòa hợp sau: a) $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c.$ b) $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$

a) Áp dụng công thức diện tích s ta gồm $S = frac12bcsin A = frac12ah_a$ suy ra: $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c$ $ Leftrightarrow a.frac2Sbc + b.frac2Sca + c.frac2Sab$ $ = frac2Sa + frac2Sb + frac2Sc.$ $ Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ $ Leftrightarrow (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0.$ $ Leftrightarrow a = b = c.$ Vậy tam giác $ABC$ đều. B) Ta có: $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$ $ Leftrightarrow fraccos ^2A + cos ^2B + sin ^2A + sin ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + 1 + cot ^2B + 1 ight).$ $ Leftrightarrow frac2sin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( frac1sin ^2A + frac1sin ^2B ight)$ $ Leftrightarrow left( sin ^2A + sin ^2B ight)^2$ $ = 4sin ^2Asin ^2B.$ $ Leftrightarrow sin ^2A = sin ^2B$ $ Leftrightarrow left( fraca2R ight)^2 = left( fracb2R ight)^2$ $ Leftrightarrow a = b$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ cân tại $C.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài xích 1: mang lại tam giác $ABC.$ minh chứng tam giác $ABC$ cân nếu $h_a = csin A.$

Sử dụng phương pháp $S = frac12ah_a = frac12bcsin A$ ta có: $h_a = csin A$$ Leftrightarrow bh_a = ah_a$ $ Leftrightarrow a = b$ suy ra tam giác $ABC$ cân nặng tại $C.$

Bài 2: mang đến tam giác $ABC.$ chứng minh tam giác $ABC$ cân nếu $4m_a^2 = b(b + 4ccos A).$

Sử dụng phương pháp đường trung đường và định lí sin. $4m_a^2 = b(b + 4ccos A)$ $ Leftrightarrow 4frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24$ $ = bleft( b + 4c.fracb^2 + c^2 – a^22bc ight)$ $ Leftrightarrow a = b.$

Bài 3: chứng minh rằng tam giác $ABC$ mọi khi còn chỉ khi: $a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2.$

Ta có: $r^2 = fracS^2p^2$ $ = frac(p – a)(p – b)(p – c)p.$ Theo Cauchy: $(p – a)(p – b)(p – c)$ $ le left( frac3p – a – b – c3 ight)^3$ $ = left( fracp3 ight)^3.$ Suy ra $36r^2 le frac4p^33p$ $ = frac(a + b + c)^23$ $ le a^2 + b^2 + c^2.$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a = b = c$ hay tam giác $ABC$ đều.

Bài 4: mang đến tam giác $ABC.$ tìm kiếm góc $A$ trong tam giác biết những cạnh $a$, $b$, $c$ ưng ý hệ thức: $bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $(b e c).$

$bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $ Leftrightarrow b^3 – c^3 = a^2(b – c)$ $ Leftrightarrow b^2 + bc + c^2 = a^2.$ Theo định lí côsin thì $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ Leftrightarrow cos A = frac12$ $ Leftrightarrow widehat A = 60^0.$