1. Lập phương trình mặt đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình mặt đường tròn tất cả tâm I(a;b), bán kính R là :

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

2. Dấn xét

Phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng 

x2 + y2 – 2ax – 2by +c =0

trong kia c = a2 + b2+ c2 

Ngược lại, phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c =0 là phương trình của mặt đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 –c > 0 . Khi ấy đường tròn (C) có tâm I(a;b) và phân phối kính 

*

3. Phương trình tiếp tuyến của mặt đường tròn

Cho điểm M0(x0; y0) nằm trê tuyến phố tròn (C) tâm I(a;b).Gọi Δ là tiếp đường với (C) tại M0

*

4. Các dạng bài xích tập và cách thức giải

Dạng 1: thừa nhận dạng một phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm trọng tâm và nửa đường kính của mặt đường tròn.

Bạn đang xem: Lý thuyết phương trình đường tròn lớp 10

Cách 1:

- Đưa phương trình về dạng: x2 + y2 – 2ax -2by +c = 0 (1)

- Xét dấu biểu thức: m = a2 + b2 + c2

- giả dụ m>0 thì (1) là phương trình con đường tròn trọng tâm I(a;b), nửa đường kính R 

*

Cách 2: 

- Đưa phương trình về dạng (x-a)2 + (y-b)2 = m2 (2)

- giả dụ m > 0 thì (2) là phương trình con đường tròn vai trung phong I(a;b), bán kính R = √m

Dạng 2: Lập phương trình con đường tròn

Cách 1:

- kiếm tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C)

- Tìm nửa đường kính R của (C)

- Viết phương trình (C) theo dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

Chú ý:

- (C) đi qua A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2.

- (C) đi qua A và tiếp xúc với con đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d(I, ∆).

- (C) tiếp xúc với hai tuyến phố thẳng ∆1 và ∆2

⇔ d(I, ∆1) = d(I, ∆2) = R

Cách 2:

- điện thoại tư vấn phương trình con đường tròn (C) là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)

- Từ đk của đề bài đưa tới hệ phương trình với bố ẩn số là: a, b, c

- Giải hệ phương trình tìm a, b, c để cụ vào (2), ta được phương trình đường tròn (C)

Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến đường của đường tròn.

Loại 1: Lập phương trình tiếp con đường tại điểm Mo­(xo;yo) thuộc con đường tròn (C)

- kiếm tìm tọa độ tâm I(a,b) của đường tròn (C)

- Phương trình tiếp tuyến đường với (C) trên Mo­(xo;yo) tất cả dạng:

(xo – a)(x-x0) + (yo-b)(y-yo) = 0

Loại 2: Lập phương trình tiếp đường của ∆ với (C) khi chưa biết tiếp điểm: dùng đk tiếp xúc với mặt đường tròn (C) tâm I, phân phối kính R ⇔ d (I, ∆) = R

5. Bài tập có lời giải về phương trình đường tròn

Bài tập 1: Cho con đường cong (Cm): x2 + y2 – 4mx – 8(m – 4)y + 18 – m = 0. Hãy tìm đk của m để (Cm) là phương trình con đường tròn

Lời giải

Để (Cm) là phương trình đường tròn ta có: m2 + <4(m – 4)>2 – ( 18 – m) > 0

m2 + 16m2 – 256m + 256 – 18 + m > 0

17m2 – 255m + 238 > 0

m2 – 15m + 14 > 0

m 2

Bài tập 2: Cho (Cα) là x2 + y2 – 2xcosα – 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ). Minh chứng rằng (Cα) là mặt đường tròn

Lời giải

Để (Cα) là đường tròn ta có: cos2α + sin2α – cos2α > 0

VT = cos2α + sin2α – cos2α

= 1 – cos2α

= 2sin2α > 0 (với α ≠ kᴨ)

Chú ý: giả dụ α = kπ thì đường tròn là một trong điểm

Bài tập 3: lập phương trình đường tròn (C) biết trung khu O(2; 4) và đi qua điểm I(0; 0)

Lời giải

Ta tất cả R = IO , nhưng mà vecto IO = √22 + √42 = √20

Bài tập 4. Trong những phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn ? Tìm trung khu và nửa đường kính nếu có :

a) x2 + y2 – 6x +8y +100 = 0 (1)

b) x2 + y2 + 4x – 6y -12 = 0 (2)

c) 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 2 = 0 (3)

Giải:

a) (1) tất cả dạng x2 + y2 – 2ax – 2by +c =0 với a = 3,b = -4, c = 100.

Ta tất cả a2 + b2 –c = 9 +16 – 100 2 + y2 – 2ax – 2by +c =0, cùng với a = – 2, b = 3, c = -12.

Ta tất cả x2 + b3 – c = 4 + 9 +12 = 25 > 0 .

Vậy (2) là phương trình của con đường tròn tâm là vấn đề (-2 ; 3), bán kính bằng

*

c) Ta gồm : (3)

*

⇔ 

Vậy (3) là phương trình của con đường tròn tâm là vấn đề (1 ; -2), nửa đường kính bằng √6 

Bài tập 5. Cho phương trình x2 + y2 – 2mx + 4my + 6m – 1 = 0 (1)

a) với mức giá trị làm sao của m thì (1) là phương trình của con đường tròn ?

b) giả dụ (1) là phương trình của mặt đường tròn hãy tìm kiếm toạ độ trung tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m.

Giải:

a) (1) gồm dạng x2 + y2 – 2ax – 2by +c =0 cùng với a = m, b = – 2m, c = 6m = 1.

(1) là phương trình của đường tròn khi và chỉ còn khi a2 + b2 – c > 0, mà

 

*

Bài tập 6. Lập phương trình của mặt đường tròn (℘) trong những trường phù hợp sau :

a) (℘) bao gồm tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: x – 2y+7 = 0;

b) (℘) có đường kính là AB với A( 1 ; 1), B(7 ; 5).

Xem thêm: Công Thức Tính Độ Dài Cung Tròn Cực Hay, Chi Tiết, Lý Thuyết Độ Dài Đường Tròn, Cung Tròn

Giải:

*

Bài tập 7. Viết phương trình mặt đường tròn trải qua ba điểm A(1 ; 2), B(5 ; 2), C( 1 ; – 3).