1). Hàng số: Một hàm số u xác định trên tập hợp những số nguyên dương N* được gọi là 1 trong những dãy số vô hạn ( hay hotline tắt là là dãy số). Mỗi quý hiếm của hàm số u được hotline là một số hạng của hàng số,

*
được hotline là số hạng đầu tiên ( tốt số hạng đầu),
*
được call là số hạng trang bị hai… người ta thường kí hiệu các giá trị
*
…tương ứng vì
*
,…

2).Người ta thường kí hiệu hàng số

*
vì và điện thoại tư vấn là số hạng tổng thể của hàng số đó. Fan ta cũng thường viết dãy số bên dưới dạng khai triển:
*
Chú ý: người ta cũng hotline một hàm số u khẳng định trên tập hợp có m số nguyên dương đầu tiên( m tùy ý ở trong N*) là một trong dãy số. Rõ ràng, hàng số vào trường hòa hợp này chỉ có hữu hạn số hạng ( m số hạng:
*
). Vày thế, fan ta còn được gọi nó là dãy số hữu hạn, hotline là số hạng đầu với
*
call là số hạng cuối.

3). Các cách cho 1 dãy số:

Cách 1: đến dãy số bởi phương pháp của số hạng tổng quát.

Ví dụ: đến dãy cùng với

*

Cách 2: cho dãy số vì hệ thức truy hỏi hồi ( tốt quy nạp):

mang đến số hạng trước tiên ( hoặc một vài số hạng đầu).

cùng với

*
, mang lại một bí quyết tính trường hợp biết
*
( hoặc vài ba số hạng đứng ngay trước nó).

Ví dụ: mang lại dãy số xác định bởi

Cách 3: diễn tả bằng lời cách xác định mỗi số hạng của hàng số.

Ví dụ: mang đến đường tròn

*
bán kính R. Mang lại dãy với là độ nhiều năm cung tròn bao gồm số đo là
*
của đường tròn
*

4). Dãy số tăng: là hàng số tăng

*

5). Hàng số giảm: là dãy số giảm

*

6). Dãy số tăng với dãy số sút được gọi bình thường là hàng số đối kháng điệu . Tính chất tăng, giảm của một dãy số được gọi tầm thường là đặc điểm đơn điệu của dãy số đó.

7). Hàng số bị ngăn trên: được gọi là dãy số bị ngăn trên trường hợp tồn tại một vài M sao cho

*
.

8). Dãy số bị chặn dưới: được điện thoại tư vấn là hàng số bị ngăn dưới trường hợp tồn tại một trong những m làm sao để cho

*
.

9). Dãy số bị chặn: được hotline là hàng số bị ngăn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Nghĩa là tồn tại một số trong những M và một trong những m làm sao để cho

*

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: cấu hình thiết lập công thức tính số hạng tổng thể theo n

PHƯƠNG PHÁP:

nếu bao gồm dạng

*
(kí hiệu ) thì biến đổi
*
thành hiệu của nhì số hạng, nhờ vào đó thu gọn .

Nếu hàng số được cho vày một hệ thức truy vấn hồi, tính vài số hạng đầu của hàng số ( chẳng hạn tính

*
), tự đó dự kiến công thức tính theo n, rồi chứng minh công thức này bằng cách thức quy nạp. Dường như cũng có thể tính hiệu nhờ vào đó nhằm tìm cách làm tính theo n.

VÍ DỤ




Bạn đang xem: Phương pháp giải dãy số bị chặn

Ví dụ 1: mang lại dãy số

*
. Đặt
*
. Tính
*
và xác định công thức tính theo n trong các trường phù hợp sau:

a).

*
b).
*
c).
*
d).
*


LỜI GIẢI

a).

*
;
*

*

*

Ta bao gồm

*
, bởi vì đó:
*
.

b).

*
;
*

*

*

Ta bao gồm

*
. Do đó
*

*
*
>

*

*

c).

*


Ví dụ 2: tra cứu 5 số hạng đầu với tìm phương pháp tính số hạng bao quát theo n của các dãy số sau: a). b).


LỜI GIẢI

a).

Ta có:

*

*

*

*

Từ các số hạng đầu trên, ta dự kiến số hạng tổng quát bao gồm dạng:

*

Ta dùng phương thức chứng minh quy nạp để minh chứng công thức đúng.

Với

*
(đúng). Vậy đúng với

Giả sử đúng cùng với gồm nghĩa ta có:

*

Ta cần chứng tỏ đúng với tức là ta phải chứng minh:

*

Thật vậy từ bỏ hệ thức xác định dãy số cùng theo ta có:

*

Vậy đúng vào khi kết luận đúng với tất cả số nguyên dương n.

b).

Ta có:

*

*

*

*

Từ những số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng thể gồm dạng:

*

Ta dùng phương pháp chứng minh quy hấp thụ để chứng minh cộng thức đúng.

Với có:

*
(đúng). Vậy đúng với

Giả sử đúng với , gồm nghĩa ta có:

*

Ta cần chứng minh đúng với có nghĩa là ta yêu cầu chứng minh:

*
.

Thật vậy trường đoản cú hệ thức khẳng định dãy số và theo ta có:

*

Vậy đúng cùng với tóm lại đúng với mọi số nguyên dương n.


Ví dụ 3: hàng số được xác minh bằng cùng thức:

a). Tìm cách làm của số hạng tổng quát.

b). Tính số hạng đồ vật 100 của dãy số.


LỜI GIẢI

a). Ta có:

*

Từ kia suy ra:

*

*

*

*

*

*

Cộng từng vế n đẳng thức trên:

*
*

Bằng cách thức quy nạp ta minh chứng được:

*

Vậy

*

b).

*


PHƯƠNG PHÁP

Cách 1: Xét dấu của biểu thức

giả dụ

*
thì là hàng số tăng;

nếu như

*
thì là hàng số giảm.

Cách 2: khi

*
thì rất có thể so sánh
*
với cùng 1

ví như

*
thì là dãy số tăng;

trường hợp

*
thì là dãy số giảm.

Cách 3: Nếu hàng số được cho vì chưng một hệ thức tầm nã hồi thì ta rất có thể sử dụng phương thức chứng minh quy nạp để minh chứng

*
(hoặc
*
)

Chú ý:

trường hợp

*
thì hàng số ko giảm.

trường hợp

*
thì hàng số ko tăng.


Ví dụ 1: Xét tính tăng bớt của dãy số biết:

a).

*
b).
*
c).

d). e).


LỜI GIẢI

a).

*

Kết luận dãy số là hàng số giảm.

b).

*

Ta gồm

*

Kết luận dãy số là hàng số tăng.

c).

Ta gồm

*
, từ kia suy ra hàng số là hàng không tăng không giảm.

d). . Dễ thấy

Xét tỉ số:

*
*
. Vậy là 1 trong những dãy số tăng.

e).

Ta có:

*

Ta có:

*

Vì:

*
*

*
. Vậy: hàng số giảm.


Ví dụ 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số được cho vì chưng hệ thức truy nã hồi sau:

a). b).


LỜI GIẢI

a).

*
ta dự kiến
*
với đa số

Ta bao gồm đúng với

Giả sử ta có:

*
lúc ấy ta có:

*
( bởi vì
*
)

Suy ra đúng với đa số , suy ra là hàng số tăng.

b).

Từ hệ thức tróc nã hồi đã cho, dễ thấy

*
với mọi

Ta có:

*

Ta dự đoán

*
với mọi .

Ta bao gồm đúng khi đưa sử có

Khi đó

*

Vì đề xuất

*

Suy ra đúng với tất cả . Vậy là hàng số giảm.

VẤN ĐỀ 3: dãy số bị chặn.

PHƯƠNG PHÁP

1). Nếu như thì:

Thu gọn gàng , nhờ vào biểu thức thu gọn gàng để chặn .

Ta cũng rất có thể chặn tổng

*
bằng một tổng mà ta hoàn toàn có thể biết được chặn trên, ngăn dưới của nó.

2). Nếu dãy số ( ) ho vị một hệ thức truy tìm hồi thì:

dự kiến chặn trên, chặn dưới rồi minh chứng bằng phương thức chứng minh quy nạp.

Ta cũng rất có thể xét tính đơn điệu ( giả dụ có) sau đó giải bất phương trình dựa vào đó ngăn ( ).


Ví dụ 1: Xét tính tăng hay sút và bị ngăn của hàng số :

*


LỜI GIẢI

Ta có:

*

Vậy: là hàng số tăng.

Ta có

*
, suy ra:

*
đề nghị bị chặn trên. Vị là dãy số tăng
*
buộc phải bị ngăn dưới. Vậy bị chặn.


Ví dụ 2: cho dãy số với

*

a). Viết 5 số hạng đầu của hàng số.

b). Tìm phương pháp truy hồi.

c). Chứng minh dãy số tăng cùng bị chặn dưới.


LỜI GIẢI

a).Ta có:

*

*

*

*

*

b). Xét hiệu:

*

*
*

Vậy phương pháp truy hồi:

*

c). Ta có:

*
Từ đó suy ra dãy số là dãy số tăng.

Ta có:

*
kết luận là hàng số bị chặn dưới.

BÀI TẬP TỔNG HỢP


Câu 1: đến dãy số khẳng định bởi:

*
cùng
*
với tất cả

a). Hãy tính với

b). Minh chứng rằng

*
với tất cả


LỜI GIẢI

a). Ta có:

*

*

*

*

*

b). Ta sẽ triệu chứng minh:

*
với mọi , bằng phương thức quy nạp

Với ta có:

*
(đúng). Vậy đúng với

Giả sử đúng cùng với . Tức là ta có:

*

Ta phải chứng tỏ đúng với

Có nghĩa ta nên chứng minh:

*

Từ hệ thức xác định dãy số : với giả thiết quy hấp thụ ta có:

*
(đpcm).


Câu 1: cho dãy số khẳng định bởi: và

*
với đa số

a) Hãy tính và

b) chứng tỏ rằng:

*
với mọi


LỜI GIẢI

a). Ta có:

*

*

*

*

*

b). Cùng với , ta có:

*
(đúng). Vậy đúng với

Giả sử đúng với . Có nghĩa là ta có:

*

Ta phải minh chứng đúng với . Bao gồm nghĩa ta đề xuất chứng minh:

*

Từ hệ thức xác minh dãy số với giả thiết quy nạp ta có:

*
(đúng).


Câu 3: mang lại dãy số cùng với với

*
với đa số

Chứng minh rằng:

*


LỜI GIẢI

Ta sẽ minh chứng

*
bằng phương pháp quy nạp.

Với , ta có:

*
(đúng). Vậy đúng cùng với

Giả sử đúng cùng với . Tức là ta có:

*

Ta phải chứng minh đúng với có nghĩa ta cần chứng minh:

*

Từ hệ thức khẳng định dãy số với từ (2) ta có:

*
(đpcm).


Câu 4: cho dãy số , biết

*
với

a). Viết năm số hạng thứ nhất của dãy số.

b). Dự kiến công thức số hạng tổng thể và chứng tỏ bằng phương pháp quy nạp.


LỜI GIẢI

a). Ta có:

*

*

*

*

b). Ta có:

*
.

Ta dự kiến

*

Với có:

*
(đúng). Vậy (1) đúng với

Giả sử (1) đúng với , gồm nghĩa ta có:

*

Ta cần minh chứng (1) đúng với có nghĩa là ta đề xuất chứng minh:

*

Thật vậy từ bỏ hệ thức xác minh dãy số với theo ta có:

*

Vậy (1) đúng cùng với kết luận đúng với mọi số nguyên dương n.


Câu 5: cho tổng

*

a). Tính

*
.

b). Dự kiến công thức tính tổng

*
và minh chứng bằng quy nạp.


LỜI GIẢI

Ta gồm

*

b). Dự kiến

*

với ta có

*
. Vậy (1) đúng cùng với .

Giả sử (1) đúng cùng với , gồm nghĩa ta có

*
.

Ta phải minh chứng (1) đúng với , bao gồm nghĩa ta phải chứng minh

*

Thật vậy ta có:

*

*
(đúng).

Dãy số cùng với là dãy số bị chặn.

Thật vậy ta có

*

Và hiển nhiên

*

Từ (*) cùng (**) suy ra hàng số bị chặn.


Câu 6: tìm 5 số hạng đầu với tìm công thức tính số hạng tổng quát theo n của những dãy số sau:

a).

*
b).
*
cùng với


LỜI GIẢI

a). Ta có:

*
*

*
*

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng bao quát bao gồm dạng:

*

Ta dùng cách thức quy nạp để chứng minh công thức

Đã có: đúng với

Giả sử đúng vào khi tức là ta có:

*

Ta chứng tỏ đúng lúc tức thị ta cần chứng minh:

*

Thật vậy tự hệ thức xác định dãy số với giả thiết quy hấp thụ ta có:

*

Kết luận: đúng khi ,suy ra đúng với tất cả số nguyên dương n.

b). Ta có:

*

*

*

*

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng bao quát gồm dạng:

*

Ta dùng phương thức quy nạp để minh chứng công thức

Đã có: đúng với

Giả sử đúng khi tức là ta có:

*

Ta minh chứng đúng vào lúc tức là ta nên chứng minh:

*

Thật vậy từ hệ thức xác minh dãy số và giả thiết quy nạp ta có:

*

Kết luận: đúng lúc ,suy ra đúng với đa số số nguyên dương n.


Câu 7: cho dãy số xác minh bởi:

*
với
*

a). Hãy tính

*
cùng
*

b). Minh chứng rằng:

*
với đa số


LỜI GIẢI

a).Ta có:

*

*

*

b). Ta sẽ chứng tỏ

*

Với , ta có:

*
(đúng)

Giả sử đẳng thức đúng cùng với , có nghĩa là ta có:

*

Ta đề xuất phải minh chứng đẳng thức đúng cùng với có nghĩa là chứng minh:

*

Ta có:

*
(đúng)


Câu 8: mang lại dãy số cùng với

*

a) minh chứng rằng: với tất cả

b) Dựa vào tác dụng câu a) , hãy mang đến dãy số do hệ thức truy vấn hồi.


LỜI GIẢI

a) Ta có:

*

b) Theo công thức xác minh , ta có:

*
vì vậy kết hợp công dụng câu a) suy ra ta có thể cho hàng số bởi:
*
với với đa số


LỜI GIẢI

Ta có

*

*

*
.

Từ đó dự kiến

*
. Triệu chứng minh:

Với ta gồm

*
(đúng).

Giả cách làm (1) đúng với

*
, ta gồm
*
.

Ta phải chứng tỏ (1) đúng cùng với

*
. Gồm nghĩa ta phải chứng tỏ
*
. Quả thật như vậy
*
.

Kết luận

*
.


Câu 10: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:

1). Hàng số với 2). Dãy số với

3). Hàng số cùng với . 4). Hàng số với

5). Hàng số với 6). Dãy số cùng với

7). Hàng số : cùng với 8). Hàng số với

*

9). Dãy số cùng với 10). Dãy số cùng với


LỜI GIẢI

1). Hàng số cùng với

Với từng , ta có:

*

*

*
( đúng ) bởi vì

Vì thế dãy số là 1 trong những dãy số tăng.

2). Hàng số cùng với

Với từng , ta có:

*

*

*
(đúng) (vì )

Kết luận hàng số là một dãy số tăng.

3). Hàng số với .

Với mỗi , ta có:

*

*
*

*
, với
*

Kết luận: dãy số là 1 trong những dãy số giảm.

5). Hàng số với

Dễ thấy . Xét tỉ số:

Ta có:

*

Thật vậy:

*
( đúng )

Kết luận: là 1 trong dãy số giảm.

6). Hàng số với

Dễ thấy . Xét tỉ số:

*

Nếu

*

*

*

Nếu

*

*

7). Dãy số : cùng với

Ta có:

*

Với phần đa ta có:

*
*

*
*

Kết luận là dãy số tăng.

8). Dãy số với

*

Với hồ hết , xét hiệu số:

*
*

*
*

Vậy hàng số là dãy số giảm.

9). Dãy số cùng với

Ta có:

*

Dễ dàng ta có:

*

*

Từ đó suy ra dãy số là dãy số giảm.

10). Hàng số với

Ta có:

*

Dễ dàng ta có:

*
*
*
Vậy hàng số là hàng số giảm.


LỜI GIẢI

Công thức được viết lại:

*

Dễ thấy ta có:

*
do đó từ suy ra
*

Từ kia suy ra là một trong dãy số bị chặn.


LỜI GIẢI

Công thức được viết lại:

*

Xét hiệu số:

*

*
*
. Vậy hàng số là dãy số tăng.

Ta có:

*
*
*

*
Suy ra là một dãy số bị chặn.

Kết luận là một dãy số tăng và bị chặn.


Câu 13: mang lại dãy số với

*

a). Viết phương pháp truy hồi của dãy số.

b). Chứng tỏ dãy số bị ngăn dưới.

c). Tính tổng n số hạng đầu của hàng số đang cho.


LỜI GIẢI

a).Ta có:

*

Xét hiệu:

*
*

Vậy phương pháp truy hồi:

*

b). Ta có:

*

Vậy hàng số bị chặn dưới, nhưng không biến thành chặn trên.

c). Ta có:

*

*

*

*

*


Câu 14: đến dãy số khẳng định bởi:

*

a). Tìm cách làm của số hạng tổng quát.

b). Chứng minh dãy số tăng.


LỜI GIẢI

a)Ta có:

*
Từ đó suy ra:

*

*

*

*

*

*

*

Cộng từng vế của n đẳng thức trên và rút gọn, ta được:

*

*

*

Vậy :

*

b) Ta có:

*

*
kết luận dãy số là một trong dãy số tăng.




Xem thêm: Tìm M Để Hàm Số Xác Định Trên Khoảng, Tìm M Để Hs Y=Căn (Xm)+1/Căn (M+3

LỜI GIẢI

Đặt

*

Ta tất cả

*
*
tốt
*

Thay vào giả thiết, ta được:

*

*

Suy ra:

*
( bởi
*
)

Hay

*

Đặt

*
. Ta có:
*

Từ kia

*

Hay

*

Theo phương pháp đặt ta có:

*
.

Suy ra:

*

Do đó

*


Câu 16: mang lại dãy (U­n), (n = 0,1,2,3...) xác minh bởi:

*
;
*

a). Hãy xác định số hạng tổng thể của .

b). Chứng tỏ rằng số

*
rất có thể biểu diễn thành tổng bình phương của cha số nguyên liên tiếp.