Cách viết phương trình tổng quát của mặt đường thẳng lớp 10 cực hay

Với giải pháp viết phương trình tổng quát của mặt đường thẳng lớp 10 cực hay Toán lớp 10 có đầy đủ phương pháp giải, lấy ví dụ minh họa và bài xích tập trắc nghiệm gồm lời giải cụ thể sẽ giúp học sinh ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài bác tập viết phương trình tổng quát của mặt đường thẳng từ kia đạt điểm trên cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Bạn đang xem: Phương trình tổng quát của đường thẳng

*

A. Cách thức giải

* Để viết phương trình bao quát của mặt đường thẳng d ta cần xác minh :

- Điểm A(x0; y0) trực thuộc d

- Một vectơ pháp tuyến đường n→( a; b) của d

Khi kia phương trình tổng quát của d là: a(x-x0) + b(y-y0) = 0

* mang đến đường thẳng d: ax+ by+ c= 0 nếu mặt đường thẳng d// ∆ thì mặt đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c’ = 0 (c’ ≠ c) .

B. Lấy ví dụ như minh họa

Ví dụ 1: Đường thẳng đi qua A(1; -2) , thừa nhận n→ = (1; -2) có tác dụng véc tơ pháp tuyến bao gồm phương trình là:

A. x - 2y + 1 = 0.B. 2x + y = 0 C. x - 2y - 5 = 0 D. x - 2y + 5 = 0

Lời giải

Gọi (d) là mặt đường thẳng đi qua A với nhận n→ = (1; -2) làm cho VTPT

=>Phương trình con đường thẳng (d) : 1(x - 1) - 2(y + 2) = 0 tốt x - 2y – 5 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của mặt đường thẳng ∆ trải qua M(1; -3) và nhận vectơ n→(1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

A. ∆: x + 2y + 5 = 0B. ∆: x + 2y – 5 = 0C. ∆: 2x + y + 1 = 0 D. Đáp án khác

Lời giải

Đường trực tiếp ∆: qua M( 1; -3) và VTPT n→(1; 2)

Vậy phương trình tổng quát của con đường thẳng ∆ là 1(x - 1) + 2(y + 3) = 0

tuyệt x + 2y + 5 = 0

lựa chọn A.

Ví dụ 3: mang lại đường trực tiếp (d): x-2y + 1= 0 . Nếu con đường thẳng (∆) đi qua M(1; -1) và tuy nhiên song cùng với d thì ∆ tất cả phương trình

A. x - 2y - 3 = 0 B. x - 2y + 5 = 0C. x - 2y +3 = 0 D. x + 2y + 1 = 0

Lời giải

vì đường thẳng ∆// d nên đường trực tiếp ∆ bao gồm dạng x - 2y + c = 0 (c ≠ 1)

Ta lại sở hữu M(1; -1) ∈ (∆) ⇒ 1 - 2(-1) + c = 0 ⇔ c = -3

Vậy phương trình ∆: x - 2y - 3 = 0

Chọn A

Ví dụ 4: Cho bố điểm A(1; -2); B(5; -4) và C(-1;4) . Đường cao AA’ của tam giác ABC tất cả phương trình

A. 3x - 4y + 8 = 0 B. 3x – 4y - 11 = 0 C. -6x + 8y + 11 = 0 D. 8x + 6y + 13 = 0

Lời giải

Ta gồm BC→ = (-6; 8)

Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC

⇒ AA" nhấn VTPT n→ = BC→ = (-6; 8) và qua A(1; -2)

Suy ra phương trình AA’: -6(x - 1) + 8(y + 2) = 0

giỏi -6x + 8y + 22 = 0 ⇔ 3x - 4y - 11 = 0.

Chọn B

*

Ví dụ 5. Đường trực tiếp d đi qua điểm A( 1; -3) và gồm vectơ pháp đường n→( 1; 5) có phương trình tổng thể là:

A. d: x + 5y + 2 = 0 B. d: x- 5y + 2 = 0C. x + 5y + 14 = 0 D. d: x - 5y + 7 = 0

Lời giải

Ta có: mặt đường thẳng d: qua A( 1; -3) và VTPT n→( 1; 5)

⇒ Phương trình bao quát của đường thẳng d:

1( x - 1) + 5.(y + 3) = 0 tốt x + 5y + 14 = 0

Chọn C.

Ví dụ 6. Trong phương diện phẳng với hệ tọa độ Oxy, mang đến tam giác ABC bao gồm A(2; -1); B( 4; 5) cùng C( -3; 2) . Lập phương trình con đường cao của tam giác ABC kẻ từ bỏ A

A. 7x + 3y – 11 = 0 B. -3x + 7y + 5 = 0C. 3x + 7y + 2 = 0 D. 7x + 3y + 15 = 0

Lời giải

Gọi H là chân mặt đường vuông góc kẻ trường đoản cú A.

Đường thẳng AH : qua A( 2;-1) và dìm VTPT BC→( 7; 3)

⇒ Phương trình mặt đường cao AH :

7( x - 2) + 3(y + 1) = 0 xuất xắc 7x + 3y – 11 = 0

Chọn A.

Ví dụ 7 : cho tam giác ABC cân nặng tại A tất cả A(1 ; -2). Gọi M là trung điểm của BC và

M( -2 ; 1). Lập phương trình con đường thẳng BC ?

A. x + y - 3 = 0 B. 2x - y + 6 = 0 C. x - y + 3 = 0 D. x + y + 1 = 0

Lời giải

+ vày tam giác ABC cân nặng tại A bắt buộc đường trung tuyến đường AM bên cạnh đó là mặt đường cao

⇒ AM vuông góc BC.

⇒ Đường trực tiếp BC dấn AM→( -3 ; 3) = -3(1 ; -1) làm VTPT

+ Đường trực tiếp BC : qua M(-2; 1) và VTPT n→( 1; -1)

⇒ Phương trình mặt đường thẳng BC :

1(x + 2) - 1(y - 1) = 0 xuất xắc x - y + 3 = 0

Chọn C.

Ví dụ 8 : mang lại tam giác ABC tất cả đường cao bh : x + y - 2 = 0, đường cao ông chồng : 2x + 3y - 5 = 0 cùng phương trình cạnh BC : 2x - y + 2 = 0. Lập phương trình đường cao kẻ từ bỏ A của tam giác ABC ?

A. x - 3y + 1 = 0 B. x + 4y - 5 = 0 C. x + 2y - 3 =0 D. 2x - y + 1 = 0

Lời giải

+ Gọi tía đường cao của tam giác ABC đồng quy tại p. Tọa độ của p. Là nghiệm hệ phương trình :

*
⇒ P( 1 ; 1)

+Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình :

*
⇒ B( 0 ;2)

Tương trường đoản cú ta kiếm được tọa độ C(-

*
;
*
)

+ Đường trực tiếp AP :

*

⇒ Phương trình đường thẳng AP :

1(x - 1) + 2(y - 1) = 0 ⇔ x + 2y - 3 = 0

Chọn C.

Ví dụ 9. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với con đường thẳng ∆ : 3x + 5y - 9 = 0 là:

A. 3x + 5y - 7 = 0 B. 3x + 5y = 0C. 3x - 5y = 0 D. 3x - 5y + 9 = 0

Lời giải

Do mặt đường thẳng d// ∆ nên đường trực tiếp d gồm dạng : 3x + 5y + c = 0 ( c ≠ - 9)

Do điểm O(0; 0) thuộc mặt đường thẳng d buộc phải :

3.0 + 5.0 + c = 0 ⇔ c = 0

Vậy phương trình con đường thẳng d: 3x + 5y = 0

Chọn B.

Ví dụ 10: mang lại tam giác ABC tất cả B(-2; -4). Gọi I với J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết con đường thẳng IJ có phương trình 2x - 3y + 1 = 0. Lập phương trình con đường thẳng BC?

A. 2x + 3y - 1 = 0B. 2x - 3y - 8 = 0C. 2x + 3y - 6 = 0 D. 2x - 3y + 1 = 0

Lời giải

Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là con đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ IJ// BC.

⇒ Đường thẳng BC gồm dạng : 2x - 3y + c = 0 ( c ≠ 1)

Mà điểm B nằm trong BC nên: 2.(-2) - 3(-4) + c = 0 ⇔ c = -8

⇒ phương trình mặt đường thẳng BC: 2x - 3y - 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 11. Cho bố đường trực tiếp (a):3x - 2y + 5 = 0; (b): 2x + 4y - 7 = 0 với

(c): 3x + 4y - 1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của a cùng b , và tuy vậy song với c là:

A. 24x + 32y - 53 = 0.B. 23x + 32y + 53 = 0C. 24x - 33y + 12 = 0.D. Đáp án khác

Lời giải

Giao điểm của (a) và ( b) nếu tất cả là nghiệm hệ phương trình :

*
⇒ A( ; )

Ta gồm đường thẳng d // c cần đường trực tiếp d tất cả dạng: 3x+ 4y+ c= 0 (c≠-1)

Vì điểm A thuộc mặt đường thẳng d yêu cầu : 3. + 4. + c = 0 ⇔ c=

Vậy d: 3x + 4y + = 0 ⇔ d3 = 24x + 32y - 53 = 0

Chọn A.

*

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Lập phương trình con đường thẳng d đi qua điểm M( 2 ; 1) với nhận vecto n→( -2 ; 1) làm VTPT ?

A. 2x + y - 5 = 0 B. - 2x + y + 3 = 0 C. 2x - y - 4 = 0 D. 2x + y - 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Đường trực tiếp d :

*

⇒ Phương trình đường thẳng d : - 2(x - 2) + 1(y - 1) = 0

hay (d) : -2x + y + 3 = 0.

Câu 2: mang đến đường thẳng (a) : 2x+ y- 3=0 với (b) : 3x- 4y+ 1= 0. Lập phương trình mặt đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng a cùng b ; nhận vecto n→( 2 ; -3) có tác dụng VTPT ?

A. 2x - 3y + 6 = 0 B. -2x - 3y + 6 = 0 C. 2x - 3y + 1 = 0 D. 2x + 3y - 1 =0

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Giao điểm A của hai đường thẳng a cùng b là nghiệm hệ phương trình :

*
⇒ A( 1 ; 1)

+ Đường trực tiếp (d) :

*

⇒ Phương trình con đường thẳng d : 2(x - 1) - 3(y - 1) = 0 hay 2x - 3y + 1 = 0.

Câu 3: Trong mặt phẳng cùng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1), B(4; 5) với C( -3; 2) . Lập phương trình mặt đường cao của tam giác ABC kẻ từ B

A. 3x - 5y + 1 = 0 B. 3x + 5y - 20 = 0C. 3x + 5y - 12 = 0 D. 5x - 3y -5 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

điện thoại tư vấn H là chân mặt đường vuông góc kẻ từ B của tam giác ABC.

Đường thẳng bảo hành :

*

⇒ Phương trình đường cao bh :

5(x - 4) – 3(y - 5) = 0 giỏi 5x - 3y – 5 = 0

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, đến tam giác ABC tất cả A(2;-1) ; B( 4;5) và C( -3; 2). Tìm trực trọng tâm tam giác ABC?

A. ( ; - )B. ( ; ) C. (

*
; )D. ( ;
*
)

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ gọi H và K lần lượt là chân mặt đường vuông góc kẻ từ C và B của tam giác ABC.

+ Đường trực tiếp CH :

*

⇒ Phương trình con đường cao CH :

2(x + 3) + 6(y - 2) = 0 tốt 2x + 6y – 6 = 0

⇔ (CH) : x+ 3y – 3= 0

+ Đường thẳng BK :

*

=>Phương trình đường cao BK : - 5(x - 4) + 3(y - 5)=0 tốt -5x + 3y + 5 = 0.

+ Gọi p. Là trực chổ chính giữa tam giác ABC. Lúc đó phường là giao điểm của hai tuyến đường cao CH và BK yêu cầu tọa độ điểm p. Là nghiệm hệ :

*

Vậy trực chổ chính giữa tam giác ABC là P( ; )

Câu 5: đến tam giác ABC gồm A( 2;-1) ; B( 4; 5) cùng C( -3; 2). Phương trình tổng quát của mặt đường cao AH của tam giác ABC là:

A. 3x - 7y + 11 = 0.B. 7x + 3y - 11 = 0C. 3x - 7y - 13 = 0.D. 7x + 3y + 13 = 0.

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi AH là đường cao của tam giác.

Đường trực tiếp AH : đi qua A( 2; -1) cùng nhận BC→ = (-7; -3) = - (7; 3) làm cho VTPT

=> Phương trình tổng quát AH: 7(x - 2) + 3(y + 1)= 0 xuất xắc 7x + 3y - 11 = 0

*

Câu 6: mang lại đường thẳng (d): 3x- 2y+ 8= 0. Đường thẳng ∆ trải qua M(3; 1) và song song với (d) gồm phương trình:

A. 3x - 2y - 7 = 0.B. 2x + 3y - 9 = 0.C. 2x - 3y - 3 = 0.D. 3x - 2y + 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Do ∆ tuy nhiên song cùng với d nên bao gồm phương trình dạng: 3x - 2y + c = 0 (c ≠ 8)

Mà ∆ trải qua M (3;1) cần 3.3 - 2.1 + c = 0 buộc phải c = - 7

Vậy phương trình ∆: 3x - 2y - 7 = 0

Câu 7: đến tam giác ABC bao gồm B(2; -3). Call I với J theo lần lượt là trung điểm của AB cùng AC. Biết mặt đường thẳng IJ tất cả phương trình x- y+ 3= 0. Lập phương trình mặt đường thẳng BC?

A. X + y + 2 = 0B. X - y - 5 = 0C. X - y + 6 = 0 D. X - y = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là con đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ IJ// BC.

⇒ Đường thẳng BC tất cả dạng : x - y + c = 0 ( c ≠ 3)

Mà điểm B ở trong BC nên: 2 - (-3) + c = 0 ⇔ c = -5

⇒ phương trình con đường thẳng BC: x - y - 5 = 0

Câu 8: đến tam giác ABC cân tại A tất cả A(3 ; 2). Hotline M là trung điểm của BC và M( -2 ; -4). Lập phương trình đường thẳng BC ?

A. 6x - 5y + 13 = 0 B. 5x - 6y + 6 = 0 C. 5x + 6y + 34 = 0 D. 5x + 6y + 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ do tam giác ABC cân nặng tại A phải đường trung con đường AM bên cạnh đó là mặt đường cao

⇒ AM vuông góc BC.

Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Tìm Gtln Gtnn Của Hàm Số Lượng Giác Trên Đoạn

⇒ Đường thẳng BC nhấn AM→( - 5; -6) = -(5; 6) làm cho VTPT

+ Đường trực tiếp BC :

*

⇒ Phương trình con đường thẳng BC :

5(x + 2) + 6( y + 4) = 0 xuất xắc 5x + 6y + 34= 0

Câu 9: Viết phương trình bao quát của mặt đường thẳng d đi qua điểm M( -1; 2) và tuy nhiên song với trục Ox.