Trong phương diện phẳng, cho vectơ (overrightarrow v = left( a;b ight)) . Phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v = left( a;b ight)) là phép vươn lên là hình, trở thành một điểm M thành một điểm M’ sao cho (overrightarrow MM" = overrightarrow v .)

Ký hiệu: (T_overrightarrow v (M) = M") hoặc (T_overrightarrow v :M o M").()()()

*


a) đặc thù 1

Định lý 1: trường hợp phép tịnh tiến phát triển thành hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì MN = M’N’.

Bạn đang xem: Tìm ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến

b) đặc điểm 2

Định lý 2: Phép tịnh tiến biến cha điểm thẳng hàng thành cha điểm thẳng hàng cùng không làm đổi khác thứ tự của ba điểm đó.

Hệ quả:Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành mặt đường thẳng, trở nên một tia thành một tia, thay đổi một đoạn thẳng thành một quãng thẳng bằng nó, vươn lên là một tam giác thành một tam giác bởi nó, thay đổi một mặt đường tròn thành một đường tròn gồm cùng bán kính , biến đổi một góc thành một góc bằng nó .


3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến


Giả sử mang lại (overrightarrow v = left( a;b ight)) với một điểm M(x;y).

Phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v ) thay đổi điểm M thành điểm M’ thì M’ bao gồm tọa độ là:

(left{ eginarraylx" = a + x\y" = y + bendarray ight.)

*


4. Một vài dạng bài xích tập và phương pháp giải


a) Dạng 1

Cho điểm (Aleft( x;y ight)) tìm hình ảnh (A"left( x";y" ight)) là hình ảnh của (A) qua phép (T_overrightarrow v ) cùng với (overrightarrow v = left( x_0;y_0 ight)).

Phương pháp giải:

Ta có:

(eginarraylA" = T_vec v(A) Leftrightarrow overrightarrow AA" = vec v\Leftrightarrow (x" - x;y" - y) = (x_0;y_0)\Leftrightarrow left{ eginarray*20lx" - x = x_0\y" - y = y_0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarray*20lx" = x + x_0\y" = y + y_0endarray ight.endarray)

Vậy (A"left( x + x_0;y + y_0 ight)).

b) Dạng 2

Cho mặt đường thẳng (d:ax + by + c = 0) tìm ảnh của d qua phép (T_overrightarrow v ) cùng với (overrightarrow v = left( x_0;y_0 ight))

Phương pháp giải:

Gọi (d") là hình ảnh của d qua phép (T_overrightarrow v ) cùng với (overrightarrow v = left( x_0;y_0 ight))

Cách 1:

Với (M = left( x;y ight) in d) ta có:

(T_overrightarrow v left( M ight) = M"left( x";y" ight) in d").

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép (T_overrightarrow v ): (left{ eginarraylx" = x + x_0\y" = y + y_0endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylx = x" - x_0\y = y" - y_0endarray ight.)

Khi đó ta có:

(d":aleft( x" - x_0 ight) + bleft( y" - y_0 ight) + c = 0 )

(Leftrightarrow ax" + by" - ax_0 - by_0 + c = 0)

Vậy phương trình của d’ là:

(ax + by - ax_0 - by_0 + c = 0)

Cách 2:

Ta tất cả (d) và(d") tuy vậy song hoặc trùng nhau, vậy d’ tất cả một vec tơ pháp con đường là:

(overrightarrow n = left( a;b ight)).

Ta tìm 1 điều thuộc (d").

Xem thêm: Chuyên Đề Xác Định Thiết Diện Trong Hình Học Không Gian, Xác Định Thiết Diện

Ta có (Mleft( 0; - fraccb ight) in d), ảnh (M"left( x";y" ight) in d")

(left{ eginarraylx" = 0 + x_0 = x_0\y" = - fraccb + y_0endarray ight.)

Phương trình của d’ là:

(aleft( x - x_0 ight) + bleft( y + fraccb - y_0 ight) = 0)

(Leftrightarrow ax + by - ax_0 - by_0 + c = 0)

Ví dụ 1:

Trong khía cạnh phẳng Oxy, tìm hình ảnh A’, B’ của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ ( mvec u = (3;1).) Tính độ dài các vectơ (overrightarrow mAB m , m overrightarrow mA"B" m .)

Lời giải:

Ta có:

(eginarraylA" = T_vec u(A) = (5;4),B" = T_vec u(B) = (4;2)\Rightarrow AB = left| overrightarrow AB ight|mkern 1mu = sqrt 5 ,)

(A"B" = left| overrightarrow A"B" ight|mkern 1mu = sqrt 5 .endarray)

Ví dụ 2:

Đường trực tiếp d cắt Ox tại A(-4;0), giảm Oy trên B(0;5). Viết phương trình thông số của d’ là hình ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v = left( 5;1 ight).)

Lời giải:

Đường trực tiếp d gồm một VTCP là:

(overrightarrow u_d = overrightarrow AB = (4;5))

Vì (T_overrightarrow v (d) = d" Rightarrow overrightarrow u_d" = overrightarrow u_d = (4;5))

Gọi (T_overrightarrow v (A) = A" )

(Rightarrow left{ eginarraylx_A" = x_A + 5 = 1\y_A" = y_A + 1 = 1endarray ight. Rightarrow A"(1;1))

Vì (A in d Rightarrow A" in d" )

(Rightarrow d":left{ eginarraylx = 1 + 4t\y = 1 + 5tendarray ight.,,(t in mathbbR))

Ví dụ 3:

Tìm phương trình mặt đường thẳng d’ là ảnh của mặt đường thẳng d: (x - 2y + 3 = 0) qua phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v = ( - 1;2).)

Lời giải:

Cách 1:

Gọi (M(x;y) in d,T_overrightarrow v (M) = M"(x";y") in d")

(eginarray*20leginarraylRightarrow left{ eginarray*20lx" = x - 1\y" = y + 2endarray ight. Rightarrow left{ eginarray*20lx = x" + 1\y = y" - 2endarray ight.\Rightarrow M(x" + 1;y" - 2) in dendarray\ Rightarrow x" - 2y" + 8 = 0.endarray)

Vậy phương trình d’ là: (x - 2y + 8 = 0.)

Cách 2:

(T_overrightarrow v (d) = d" Rightarrow d"https://d )

(Rightarrow d":x - 2y + c = 0)

Chọn (M( - 3;0) in d Rightarrow T_overrightarrow v (M) = M"(x";y") )

(Rightarrow left{ eginarraylx" = - 3 - 1 = - 4\y" = 0 + 2 = 0endarray ight. Rightarrow M"( - 4;2).)

Mà (M" in d" Rightarrow - 4 - 2.2 + c = 0)

(Leftrightarrow c = 8 Rightarrow d":x - 2y + 8 = 0.)

Ví dụ 4:

Cho con đường tròn ((C):(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4.)

Tìm hình ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v = left( - 2;2 ight).)

Lời giải:

Cách 1:

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) nửa đường kính R = 2.

Ta có: (T_overrightarrow v (C) = C" Rightarrow R_C" = R = 2)

(T_overrightarrow v (I) = I" Rightarrow left{ eginarraylx_I" = x_I + ( - 2) = 0\y_I" = y_I + 2 = 3endarray ight. )

(Rightarrow I"(0;3))

Vậy phương trình (C’) là:

((x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 4.)

Cách 2:

Gọi: (T_overrightarrow v left( M(x,y) in (C) ight) = M"(x";y") in (C") Rightarrow left{ eginarraylx" = x - 1\y" = y + 2endarray ight. )

(Rightarrow left{ eginarraylx = x" + 2\y = y" - 2endarray ight.)

( Rightarrow M(x" + 2;y" - 2))

(M in left( C ight) Rightarrow x"^2 + (y" - 3)^2 = 4 )

(Rightarrow (C"):x^2 + (y - 3)^2 = 4.)

Ví dụ 5:

Cho (,d:,2x - 3y + 3 = 0;)

(d_1:2x - 3y - 5 = 0.)

Tìm tọa độ (overrightarrow mw )có phương vuông góc cùng với d để (d_1 = T_overrightarrow mW (d).)

Lời giải:

Vì (overrightarrow mw ) bao gồm phương vuông góc cùng với d nên: (overrightarrow mw = k.overrightarrow n_d = left( 2k; - 3k ight))

Chọn (M(0;1) in d Rightarrow T_overrightarrow mw (M) = M" in d_1 )

(Rightarrow left{ eginarraylx_M" = x_M + x_overrightarrow mw = 2k\y_M" = y_M + y_overrightarrow mw = - 3k + 1endarray ight.)

( Rightarrow M"(2k; - 3k + 1).)

(M" in d_1 )

(Rightarrow 2.(2k) - 3.( - 3k + 1) - 5 = 0 )

(Leftrightarrow k = frac813 Rightarrow overrightarrow mw = left( frac1613; - frac2413 ight).)