Cách tra cứu điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng rất hay Toán học tập lớp 10 với tương đối đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có giải mã cho tiết sẽ giúp học sinh thế được phương pháp tìm điểm đối xứng của một điểm qua mặt đường thẳng rất hay 


A. Cách thức giải

Cho điểm A và con đường thẳng (d): ax + by + c = 0 . Tra cứu điểm M đối xứng cùng với điểm A qua con đường thẳng (d):

+ bước 1: Lập phương trình đường thẳng AM:

*

⇒ Phương trình (AM) .

Bạn đang xem: Tìm tọa độ điểm đối xứng qua đường thẳng toán 10

+ cách 2: gọi H là hình chiếu của A trên d. Lúc ấy AM cùng d giao nhau trên H nên tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:

*

+ cách 3: do M đối xứng cùng với A qua d cần H là trung điểm của AM.

Áp dụng phương pháp trung điểm đoạn trực tiếp ta được:

*

*

B. Lấy một ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC tất cả AB = 6; BC = 6√2 và góc B = 450.Gọi A’ là vấn đề đối xứng cùng với A qua BC. Search mệnh đề sai?

A.Tứ giác ACA’B là hình thoi

B.AA’ = 3

C.BA’ = 6

D.Tứ giác ACA’B là hình bình hành

Lời giải

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC2= AB2+ BC2– 2.AC.BC.Cos B

= 62+ (6√2)2- 2.6.6√2.cos450= 36

⇒ AC = 6 đề nghị AB = AC = 6 và AB2+ AC2= BC2

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

+ call H là chân con đường cao hạ từ điểm A lên BC.

AH là đường cao phải đồng thời là đường trung tuyến

⇒ H là trung điểm của BC: AH = bảo hành = CH = BC/2 = 3√2 ⇒ AA’= 6√2

+ bởi A’ đối xứng cùng với điểm A qua BC phải H là trung điểm của AA’ cùng AA’; BC vuông góc với nhau.

Tứ giác ACA’B bao gồm hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm từng đường

⇒ ACA’B là hình bình hành.

Lại bao gồm hai đường chéo AA’; BC vuông góc cùng với nhau nên ACA’B là hình thoi.

⇒ B sai

Chọn B.

Ví dụ 2:Cho điểm M(1; 2) và con đường thẳng d: 2x + y - 5 = 0. Toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua d là:

A.(;) B.(-

*
;
*
) C.(0;) D.(; - 5)

Lời giải

Ta thấy M ∉ d .

Gọi H( a; b) là hình chiếu của điểm M xuất hành thẳng dMH→( a - 1; b - 2) .

Ta bao gồm đường trực tiếp d: 2x + y - 5 = 0 nên tất cả vtpt:n→(2;1)

Suy rau→( -1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

*

Do đó H(

*
;
*
) .

Gọi M’( x; y) đối xứng với M qua con đường thẳng d . Khi ấy ta có: H là trung điểm của MM’

Ta có:

*

Vậy tọa độ điểm đối xứng cùng với M qua d là M"(;) .

Chọn A.

Ví dụ 3 :Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 cùng M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d là

A.( -4; 8) B.( -4; -8) C.( 4; 8) D.( 4; -8)

Lời giải

+ bởi vì M’ đối xứng cùng với M qua d yêu cầu MM’ vuông góc cùng với d.

+ Đường trực tiếp MM’:

*

⇒ MM’: 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 tốt 3x + 2y - 28 = 0

+ call H là giao điểm của MM’ với d. Khi đó tọa độ H là nghiệm hệ :

*
⇒ H( 6; 5)

+ vày M’ đối xứng với M qua d yêu cầu H là trung điểm của MM’. Tọa độ điểm M’ là:

*
⇒ M’( 4; 8)

Chọn C.

Ví dụ 4:Cho điểm A( 1; 2) và đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm điểm đối xứng cùng với A qua con đường thẳng d.

A.( 1; -2) B.(;) C.(

*
;
*
) D.Đáp án khác

Lời giải

+ hotline H là hình chiếu của A xuất hành thẳng (d) .

+ Lập phương trình con đường thẳng AH:

( AH) :

*

⇒ Phương trình ( AH) : 2( x - 1) – 1.( y - 2) = 0 xuất xắc 2x - y = 0

+ hai tuyến phố thẳng AH và d giảm nhau tại H bắt buộc tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

*

+ hotline B đối xứng cùng với A qua d. Khi đó; H là trung điểm của AB.

⇒ Tọa độ điểm B là:

*
⇒ B(;)

Chọn B.

Ví dụ 5:Cho điểm A( 2; 0) và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm kiếm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.

A.( 2; -1) B.(2; 0) C.( 1; -2) D.(-2; -1)

Lời giải

Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 phải điểm A thuộc mặt đường thẳng d.

⇒ Điểm đối xứng cùng với điểm A qua đường thẳng d đó là điểm A.

Chọn B.

Ví dụ 6:Cho tam giác ABC gồm A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB với J( -4; 2) là trung điểm của AC. Call điểm A’ đối xứng điểm A qua BC. Viết phương trình con đường thẳng AA’?

A.6x + 2y - 3 = 0 B.6x + 2y + 4 =0 C.2x - y + 1 = 0 D.Tất cả sai

Lời giải

+ bởi vì I và J theo lần lượt là trung điểm của AB và AC đề xuất IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ vì A’ đối xứng cùng với A qua BC

⇒ AA’ vuông góc BC (2).

Từ(1) và ( 2) suy ra: AA’ vuông góc IJ

+ Lập phương trình AA’:

*

⇒ ( AA’): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 tuyệt 6x + 2y + 4 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 7:Cho mặt đường thẳng ∆ :

*
và điểm M(1; 2). Tìm điểm đối xứng với M qua mặt đường thẳng ∆ là:

A.(4; -2) B.M’(-;) C.M’(;) D.M’(

*
;
*
)

Lời giải

Gọi M’ đối xứng với M qua ∆.

+ Đường trực tiếp MM’:

*

⇒ Phương trình mặt đường thẳng MM’:

3(x - 1) – 2(y - 2)= 0 hay 3x - 2y + 1 = 0.

+ Giao điểm H của con đường thẳng MM’ và ∆ là nghiệm hệ:

*

+ Điểm M đối xứng M’ qua ∆ buộc phải H là trung điểm MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:

*
⇒ M’(-;)

Chọn B.

Ví dụ 8:Cho mặt đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 với M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d là:

A.( -4; 8 ) B.(-4; -8 ) C.( 4; 8) D.(4; -8)

Lời giải

+Phương trình mặt đường thẳng MM’:

*

⇒ ( MM’) : 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 xuất xắc 3x + 2y - 28 = 0

+ gọi H là hình chiếu của M lên d. Lúc ấy MM’ cùng d giảm nhau trên H đề nghị tọa độ H là nghiệm hệ :

*
⇒ H(6; 5)


+ lúc đó H là trung điểm của đoạn MM’. Áp dụng phương pháp trung điểm ta suy ra

*
. Vậy M’( 4; 8) .

Chọn C.

C. Bài xích tập vận dụng

Câu 1:Cho tam giác ABC bao gồm AB = 1; BC = 1√2 cùng góc B = 450.Gọi A’ là vấn đề đối xứng với A qua BC. Kiếm tìm mệnh đề sai?

A.Tứ giác ACA’B là vuông

B.AA’ = 2

C.BA’ = 1

D.Tứ giác ACA’B là hình bình hành

Câu 2:Cho mặt đường thẳng ∆:

*
. Hoành độ điểm M’ đối xứng cùng với M( 4; 5) qua ∆ sớm nhất với số nào sau đây ?

A.1,12 B.- 0, 91 C.1,31 D.- 0,92

Câu 3:Tìm điểm M’ đối xứng cùng với M(4; 1) qua mặt đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:

A.(;

*
) B.(
*
;) C.(
*
;
*
) D.(;)

Câu 4:Cho tam giác ABC có A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB với J( -1; 0) là trung điểm của AC. Tra cứu điểm K đối xứng với điểm A qua IJ?

A.K(

*
; -) B.K(;) C.K( -; -) D.K(;
*
)

Câu 5:Cho điểm M(- 2; 1) và con đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0.Gọi điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng ∆. Khi ấy điểm M’ nằm trê tuyến phố thẳng nào?

A.x + 2y - 3 = 0 B.2x + 4y - 3 = 0 C.

Xem thêm: Đường Thẳng Tiếp Xúc Với Đường Tròn, Tiếp Xúc Với Đường Tròn Là Gì

x + 2y = 0 D.x + 2y - 6 = 0

Câu 6:Cho con đường thẳng ∆:

*
và điểm M(2; -3); điểm A(-0,6; -1,8). Call M’ là điểm đối xứng cùng với M qua con đường thẳng ∆. Tính độ lâu năm AM’