·Vectơ là một trong đoạn thẳng bao gồm hướng. Kí hiệu vectơ tất cả điểm đầu A, điểm cuối B là

*
.

Bạn đang xem: Tính chất vecto trong tam giác

·Giácủa vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

·Độ dàicủa vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu cùng điểm cuối của vectơ, kí hiệu

*
.

·Vectơ – khônglà vectơ gồm điểm đầu với điểm cuối trùng nhau, kí hiệu

*
.

·Hai vectơ đglcùng phươngnếu giá bán của chúng tuy vậy song hoặc trùng nhau.

·Hai vectơ thuộc phương bao gồm thểcùng hướnghoặcngược hướng.

·Hai vectơ đglbằng nhaunếu bọn chúng cùng hướng và bao gồm cùng độ dài.

Chú ý:

+ Ta còn áp dụng kí hiệu

*
để màn biểu diễn vectơ.

+ Qui ước: Vectơ

*
cùng phương, cùng hướng với đa số vectơ.

+ những vectơ

*
đều bởi nhau.

2. Những phép toán

a. Tổng của hai vectơ

·Qui tắc ba điểm: Với tía điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:

*
.

·Qui tắc hình bình hành: với ABCD là hình bình hành, ta có:

*
.

·Tính chất:

*
;

*
;

*

b. Hiệu của nhị vectơ

·Vectơ đốicủa

*
là vectơ
*
sao cho
*
. Kí hiệu vectơ đối của
*
là
*
.

·Vectơ đối của

*
là
*
.

·

*
.

Chú ý:

+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB

*

+ Điểm G là giữa trung tâm tam giác ABC

*

c. Tích của vecto với cùng một số

·Cho vectơ

*
và sốk∈R.
*
là một vectơ được xác minh như sau:

+

*
cùng phía với
*
nếuk≠0,
*
ngược phía với
*
nếuk k = 0hoặc
*
.

·Điều kiện nhằm hai vectơ thuộc phương:

*
và
*
*
cùng phương
*
.

·Điều kiện tía điểm trực tiếp hàng: A, B, C thẳng mặt hàng ∃k≠0:

*
.

·Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không thuộc phương:Cho nhị vectơ không cùng phương

*
và
*
tuỳ ý. Lúc ấy ∃!m, n∈R:
*
.

Chú ý:

·Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn trực tiếp AB thì

+

*

+

*
(O tuỳ ý).

·Hệ thức giữa trung tâm tam giác:

G là trung tâm của tam giác ABC thì: +

*
+
*
(O tuỳ ý).

B – BÀI TẬP

Dạng 1: Xác một vectơ, sự thuộc phương thuộc hướng

Chú ý: với nhị điểm riêng biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ

*
là
*

Ví dụ 1:Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Gồm bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu với điểm cuối là những điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Có 10 cặp điểm không giống nhau A,B, A,C, A,D, A,E, B,C, B,D, B,E, C,D, C,E, D,E. Cho nên có 20 vectơ khác

*

Ví dụ 2:Cho điểm A và vectơ

*
khác
*
. Tìm điểm M sao cho
*
cùng phương
*

Hướng dẫn giải:

GọiDlà giá của

*

Nếu

*
cùng phương
*
thì mặt đường thẳng AM//D

Do đó M thuộc con đường thẳngmđi qua A với //D

Ngược lại, đầy đủ điểm M thuôcmthì

*
cùng phương
*

Dạng 2: chứng minh hai vectơ bằng nhau

Ta rất có thể dùng một trong các cách sau:

+ sử dụng định nghĩa:

*

+Sử dụng tính chất của các hình. Ví như ABCD là hình bình hành thì

*
,… (hoặc viết ngược lại)

+ Nếu

*

Ví dụ 3:Cho tam giác ABC có D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Bệnh minh:

*

Hướng dẫn giải:

Cách 1: EF là mặt đường trung bình củaDABC phải EF//CD,

EF=

*
BC=CD EF=CD
*
(1)

*
cùng hướng
*
(2)

Từ (1),(2) suy ra

*

Cách 2: minh chứng EFDC là hình bình hành

EF=

*
BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành
*

Ví dụ 4:Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M với N thứu tự là trung điểm của BC cùng AD. Điểm I là giao điểm của AM cùng BN, K là giao điểm của DM cùng CN.

Chứng minh:

*

Hướng dẫn giải:

Ta tất cả MC//AN và MC=AN MACN là hình bình hành

*

Tương từ bỏ MCDN là hình bình hành đề xuất K là trung điểm

của MD

*
=
*
. Tứ giá bán IMKN là hình bình hành,

suy ra

*
=
*
*

Dạng 3: những phép toán vecto

Ví dụ 1:Cho hình bình hành ABCD.Hai điểm M với N lần lượt là trung điểm của BC và AD.

a) tìm tổng

*

b) chứng tỏ :

*

Hướng dẫn giải:

a) + Vì

*
nên ta có

*
=
*
=
*
=
*

+ Vì

*
nên ta có

*
=
*
=
*
=
*

+ Vì

*
nên ta có

*
=
*
=
*
, E là đỉnh của hình bình hành AMED.

b) vày tứ giác AMCN là hình bình hành phải ta có

*

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên

*

Vậy

*

Ví dụ 2:Cho đoạn trực tiếp AB cùng M là một trong những điểm nằm tại đoạn AB làm sao cho AM=

*
AB. Search k trong số đẳng thức sau:

*

Hướng dẫn giải:

a)

*
, vì
*
Þk=
*

b) k=–

*
c) k=–
*

Dạng 3: màn trình diễn (phân tích, biểu thị) thành nhì vectơ không cùng phương

Ví dụ 1:ChoDABC tất cả trọng âtm G. Cho những điểm D, E, F theo lần lượt là trung điểm của những cạnh BC, CA, AB với I là giao điểm của AD cùng EF. Đặt

*
. Hãy phân tích các vectơ
*
theo hai vectơ
*
.

Giải:Ta có

*

*

*

*

Ví dụ 2:Cho tam giác ABC.Điểm M nằm trong cạnh BC làm thế nào cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ

*
theo hai vectơ
*
.

Hướng dẫn giải:

Ta có

*

mà

*

*

Dạng 4: chứng tỏ đẳng thức vecto

Ví dụ 1:Cho hình bình hành ABCD. Bệnh minh:

*
.

Xem thêm: Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Lop 11, Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

Hướng dẫn giải:

Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có

*

VT=

*
(đpcm)

Ví dụ 2:Chứng minh rằng trường hợp G và G’ theo lần lượt là trọng tâm tam giác ABC với A’B’C’ thì

*
.