Phương pháp áp dụngSử dụng định nghĩa:* trường hợp ∃M ∈ R : u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn trên.* ví như ∃m ∈ R : u$_n$ ≥ m, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn dưới.* giả dụ ∃m, M ∈ R : m ≤ u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn.Chú ý: Ta có các kết quả:* đầy đủ dãy số (u$_n$) giảm luôn bị ngăn trên bởi vì u1.* phần đông dãy số (u$_n$) tăng luôn luôn bị ngăn dưới vì chưng u1.Ví dụ vận dụngThí dụ 1.

Bạn đang xem: Xét tính bị chặn của dãy số

Xét tính tăng bớt và bị chặn của các dãy số (u$_n$), biết:a. U$_n$ = $( - 1)^n - 1sin frac1n$. B. U$_n$ = $sqrt n + 1 - sqrt n $.
a. Ta bao gồm nhận xét rằng hàng số (u$_n$) đan dấu vì thế nó không tăng, không giảm.Mặt khác, ta có: |u$_n$| = |$( - 1)^n - 1sin frac1n$| = |sin$frac1n$| ≤ 1 => (u$_n$) bị chặn.b. Ta bao gồm nhận xét:u$_n$ = $sqrt n + 1 - sqrt n $ = $frac1sqrt n + 1 + sqrt n $,u$_n + 1$ = $sqrt n + 2 - sqrt n + 1 $ = $frac1sqrt n + 2 + sqrt n + 1 $ Vậy, hàng (u$_n$) giảm.Mặt khác, ta có: 0 (u$_n$) bị chặn.Thí dụ 2.
chứng minh rằng dãy số (u$_n$) cùng với u$_n$ = $fracn^2 + 1n$ bị chặn dưới nhưng không biến thành chặn trên.
Viết lại u$_n$ bên dưới dạng u$_n$ = n + $frac1n$.Khi đó, ta thừa nhận thấy:* thực hiện bất đẳng thức Côsi thì: u$_n$ $mathop ge limits^Cll si $2$sqrt n.frac1n $ = 2 => (u$_n$) bị ngăn dưới vì 2.* không tồn trên số M nhằm u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* buộc phải (u$_n$) không xẩy ra chặn trên.Vậy, dãy (u$_n$) bị ngăn dưới nhưng không biến thành chặn trên.Thí dụ 3.
chứng minh rằng dãy số (u$_n$) cùng với u$_n$ = $fracn - 1sqrt n^2 + 1 $ bị chặn.
Ta thấy ngay:* u$_n$ ≥ 0, vì thế nó bị ngăn dưới.* Ta đi chứng tỏ u$_n$ ≤ 1 cùng với ∀n ∈ N* bằng câu hỏi sử dụng biến hóa đại số, cố gắng thể:$fracn - 1sqrt n^2 + 1 $ ≤ 1 $sqrt n^2 + 1 $ ≥ n - 1 n$^2$ + 1 ≥ n$^2$ - 2n + 1 n ≥ 0, luôn luôn đúng.Suy ra, ta luôn có u$_n$ ≤ 1, ∀n ∈ N*, tức là (u$_n$) bị chặn dưới vì 1.Vậy, ta được 0 ≤ u$_n$ ≤ 1, cho nên nó bị chặn.Thí dụ 4.
Xét tính bị chặn trên, bị ngăn dưới, bị ngăn của dãy số sau: u$_n$ = $frac11.2$ + $frac12.3$ + ... + $frac1n(n + 1)$.

Xem thêm: Tính Khoảng Cách 1 Điểm Đến Đường Thẳng Trong Không Gian, Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng


Ta có $frac1n(n + 1)$ = $frac1n - frac1n + 1$từ đó, ta thấy: u$_n$ = 1 - $frac12$ + $frac12$ - $frac13$ + $frac13$ - $frac14$ + … + $frac1n - frac1n + 1$= 1 - $frac1n + 1$ (1)= $fracnn + 1$.(2)Khi đó:* từ (1) ta suy ra u$_n$ * trường đoản cú (2) ta suy ra u$_n$≥ 0, do đó nó bị chặn dưới.Vậy, dãy (u$_n$) bị chặn.
Tác giảChủ đề tương tựDiễn đànBình luậnNgày
*
*
*
*
*
*

*

*

*

*

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học Bài 2: Dãy số Bài 3: Cấp số cộng Bài 4: Cấp số nhân nắm lược lý thuyết dãy số, cấp số cùng và cấp cho số nhân